Analyysi II, kevät 2011
Analyysi II, kevät 2011
Luennoitsija
Laajuus
10 op.
Tyyppi
Perusopintoja
Esitietovaatimukset
Kurssin opiskelun edellytyksenä on kurssin Analyysi I keskeisten asioiden osaaminen. Tärkeintä on raja-arvon käsitteiden "epsilon-määritelmän" käytön hallitseminen sekä supremumin ja infimumin käsitteiden osaaminen.
Luentoajat
Viikot 3-8 ja 11-17 ti 12-14, to 12-14, pe 9-11 A111. Lisäksi 2 viikkotuntia ohjauksia ja 2 viikkotuntia laskuharjoituksia.
Pääsiäisloma 21.-27.4.
Kokeet
- 1. kurssikoe 3.3. 13-15 Exactumin auditorioissa
- 2. kurssikoe 5.5. 13-15 Exactumin auditorioissa
2. kurssikokeen ratkaisut arvostelukommentteineen
Lisäpisteitä
Kurssilla voi saada lisäpisteitä laskuharjoituksista ja ohjauksista.
Laskuharjoituksista saa 4 pistettä, jos laskettu vähintään 50 tehtävää;
3 pistettä, jos laskettu alle 50 mutta vähintään 40 kpl; 2 pistettä,
jos laskettu alle 40 mutta vähintään 30 kpl; ja 1 piste, jos laskettu
alle 30 mutta vähintään 20 kpl kevään tehtävistä.
Ohjauksiin osallistumisesta on saa lisäpisteitä näin: jos osallistuu myöhemmin ilmoitetusta päivästä
alkaen 4-6 ohjaukseen, niin saa 2 lisäpistettä ja osallistumalla 3 ohjaukseen saa yhden lisäpisteen.
Kirjallisuus
Kurssilla käytetään Jouni Kankaanpään kirjoittamaa Yliopistopainon painalmaa monistetta
Analyysi II: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2. Hinta 7,50 €
Lauri Myrbergin kirja Differentiaali- ja integraalilaskenta I - II on oivaa oheisluettavaa.
Kurssimateriaali löytyy sähköisessä muodossa osoitteesta
http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/
(Tuo nettisivu liittyy kurssiin vanhalla nimellä Differentiaali- ja integraalilaskena I.2.
Siellä on tietoja mm. koeajoista ja harjoitusten pitäjistä, mitkä eivät tietenkään ole enää
paikkansapitäviä.)
Monisteen voi ostaa seuraavilla tavoilla.
1) Tiistaina 18.1.2011 luennon (klo 12 - 14, sali A 111) yhteydessä Exactumin ala-aulassa on Yliopistopainon myyntipöytä. Käteismaksu.
2) Opintomonisteen tilaaminen Yliopistopainon verkkokirjakaupasta
http://kirjakauppa.yliopistopaino.fi
Valitse Kustantajat-listasta ”Opintomonisteet (HY)”. Valitse tuote ja lisää ostoskoriin. Siirry ostoskoriin. Maksa verkkopankissa tai luottokortilla. Valitse toimitustapa "Nouto Kumpula vahtimestari". Täytä muut tiedot ja lähetä tilaus. Nouda kuori nimelläsi Exactum, kopiohuone (Gustaf Hällströmin katu 2, Helsinki) 1. krs, vahtimestarin takana. Toimitusmaksua ei peritä. Toimitusaika 1-3 työpäivää.
Voit tilata verkkokaupassa monisteen myös suoraan kotiin maksamalla toimitusmaksun. Toimitusaika määrittyy tällöin Itellan jakeluaikojen mukaan.
3) Voit käydä ostamassa monisteen käteisellä keskustakampuksella Yliopistopainon Kirjamyynnistä, Vuorikatu 3A, Helsinki.)
Analyysi II -kurssin Moodle
Kurssin käytössä on Moodle-työalue osoitteessa
https://moodle.helsinki.fi/course/view.php?id=2937
Siellä keskustellaan kaikesta kurssin opiskelua koskevasta. Mm. laskuharjoitustehtävien ratkaisemisesta.
(Tehtävät ja niiden malliratkaisut tulevat tänne kurssin kotisivulle.)
Kurssin keskeinen sisältö
Kurssi jakautuu seuraaviin osiin
1. Riemannin integraalit
Toisin kuin koulussa, pääpaino on määrätyn (Riemannin) integraalin käsitteellä. Integraalifunktiot tulevat paljolti näiden sivutuotteina.
Kurssi alkaa lyhyen johdattelun jälkeen samanaikaisesti kahdella teemalla, joita opiskellaan rinnakkain
- Integraalien laskeminen: otetaan "analyysin peruslause" käyttöön ennen kuin se voidaan todistaa ja tutustutaan osittaisintegrointiin ja sijoitusmenetelmään (molempiin määrättyjen integraalien tapauksessa.) Tällä pyritään siihen, että käytännön integrointitaidon kehittymiselle saadaan enemmän aikaa.
- Riemannin integraalin määrittelyprosessi. Yhtenä huipentumana tästä ponnistelusta on tulos: jokainen jatkuva funktio on jonkin funktion derivaattafunktio. (Huomaa, että jatkuvat funktiot saattavat olla hyvinkin "häijyjä": on olemassa sellaisia jatkuvia funktioita, joilla ei ole yhdessäkään kohtaa derivaattaa.)
2. Epäoleelliset integraalit
Nämä ovat Riemannin integraalien raja-arvoja tilanteissa, missä syystä tai toisesta Riemannin integraalin käsite ei ole käytettävissä. Keskeinen kysymys koskee epäoleellisten integraalien suppenemista: ko. raja-arvojen olemassaoloa.
3. Sarjat
Äärettömän monen luvun summa ei sinänsä tarkoita mitään. Sarjateoriassa tätä yritetään kiertää tutkimalla äärellisten (osa)summien muodostamien lukujonojen suppenemista.
Tavallaan sarjateoria on Analyysi I -kurssin lukujonoja koskevan osuuden jatkoa uusin merkinnöin. Erityisesti tämä merkitsee sitä, että lukujonoja koskevat tiedot
kannattaa kerrata huolella. Osoittautuu, että monet hämmentävän näköiset sarjoja
koskevat ajatukset ovat itse asiassa todella helppoja lukujonojen ominaisuuksia.
4. Funktiojonojen (tasainen) suppeneminen
Nyt tutkitaan jonoja, joiden jäsenet ovat funktioita. Tavallaan on kyse siitä,
että jokaisen x kohdalla on oma lukujononsa, jonka suppenemista voidaan tutkia.
Jos näillä kaikilla on raja-arvo, sanotaan, että funktiojonomme suppenee pisteittäin.
Ennen kaikke pohditaan sitä, milloin raja-arvona saatava funktio on jatkuva tai muuten "siisti". Tässä astuu kuvaan tasaisen suppenemisen käsite, joka tavallaan vaatii, että suppeneminen on jokaisen x kohdalla yhtä nopeaa.
5. Potenssisarjat
Tässä yhdistyvät kurssin osuudet 3 ja 4. Tutkitaan "funktiosarjoja", joiden osasummat ovat polynomeja geometrisen sarjan osasummien tapaan.
Itse asiassa geometrinen sarja on monella tavalla kaikkein tärkein esimerkki.
6. Taylorin polynomit ja sarjat
Tässä jaksossa tutkitaan eniten sitä, miten funktioita voi jäljitellä sellaisilla
polynomeilla, joiden kertoimet määräytyvät funktion derivaatoista.
Taylorin polynomeihin johdutaan oikeastaan jo alkukeväästä muutamassa osittais-
integrointia koskevassa harjoitustehtävässä.
Taylorin polynomien avulla saadaan kiinnostavat yleistykset syksyn kurssin
väliarvolauseelle ja karakterisaatiolauseelle. Näiden avulla voidaan laskea mm.
likiarvoja sellaisille integraaleille, joiden tarkkaa arvoa emme pysty laskemaan sekä selvittämään hankalia raja-arvokysymyksiä.
Kurssin Analyysi II sisältö saattaa ensi silmäyksellä tuntua hajanaiselta. Luennoilla ja
kurssin Moodlessa (ks. alle) tullaan keskustelemaan "Analyysin peruskysymyksestä", mikä on
(eräs) näkökulma, joka sitoo kevään ohjelmamme loogiseksi kokonaisuudeksi.
Ilmoittaudu
Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.
Laskuharjoitukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | ke | 12-14 | C322 | Lauri Sankari |
2. | ke | 14-16 | C322 | Esko Heinonen |
3. | ke | 16-18 | C322 | Johanna Rämö |
4. | to | 8-10 | C322 | Johanna Rämö |
5. | to | 14-16 | C322 | Kaarlo Reipas |
6. | to | 16-18 | C322 | Kaarlo Reipas |
7. | pe | 11-13 | D123 | Esko Heinonen |
8. | pe | 15-17 | C322 | Jani Hannula |
Opelinjalaisten laskarit:
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
9. | to | 10-12 | C122 | Okko Kanerva |
Svenskspråkig räkneövning:
Grupp | Dag | Tid | Plats | Instruktör |
|---|---|---|---|---|
1. | fre | 12-14 | C129 | Susanna Liesipohja |
Ohjaukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | ma | 12-14 | C129 | Riikka Tuovinen |
2. | ma | 14-16 | C322 | Riikka Tuovinen |
3. | ma | 16-18 | C322 | Jani Hannula |
4. | ti | 10-12 | C322 | Lauri Sankari |
5. | ti | 14-16 | C322 | Riikka Tuovinen |
6. | ti | 16-18 | C322 | Aapo Tevanlinna |
7. | ke | 8-10 | C322 | Aapo Tevanlinna |
8. | ke | 10-12 | C122 | Esko Heinonen |
Opelinjalaisten ohjaus:
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
9. | ti | 8-10 | C322 | Lauri Sankari |
Svenskspråkig handledning:
Grupp | Dag | Tid | Plats | Instruktör |
|---|---|---|---|---|
1. | tis | 8-10 | B321 | Susanna Liesipohja |
Laskuharjoitustehtävät
Ohjaustehtävät
Räkneövningar på svenska
Handledningar på svenska
Laskuharjoitustehtävien ratkaisuja
Ohjaustehtävien ratkaisuja
Kertaustehtäviä
Lisämateriaalia
Tässä tekstiä, johon on koottu eräitä kurssien analyysi I ja II kaikista
abstrakteimpia tuloksia sekä vähän muuta.
Tässä kirjoittamani artikkeli, jossa kuvaillaan laitoksemme alkuvaiheen opetuksen tuloksia
ja niiden taustalla olevia ajatuksia.