Todennäköisyys ja statistinen fysiikka, kevät 2014

Luennoitsijat

Kalle Kytölä
Antti Kemppainen
 

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Alustava sisältö

I. Todennäköisyysteoriaa

• keskeinen raja-arvolause, satunnaiskävely, heikko suppeneminen

II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja

• ferromagnetismin Ising-malli, itseään välttävä polymeeri

III. Jatkuva-aikaisia satunnaisprosesseja

• Brownin liike, Poisson-prosessi

IV. 2-ulotteisen Ising-mallin ratkaisusta

• vapaa fermioniesitys siirtomatriisille

V. Termodynaamisia rajoja ja faasitransitioita

• perkolaatio, Ising-malli, Gibbsin mitat

VI. Otantaa todennäköisyysjakaumista

• Markov-ketju Monte Carlo -menetelmä

VII. Muita malleja ja viimeaikaisia tuloksia

Esitietovaatimukset

• perustiedot vektoreista ja matriiseista (esim. Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I-II)
• perustiedot differentiaali- ja integraalilaskennasta useammassa muuttujassa (esim. Vektorianalyysi)
• perustiedot todennäköisyyslaskennasta (esim. Todennäköisyyslaskenta)

Käytämme kurssilla toisinaan myös

• joitakin metrisen topologian käsitteitä, jotka sisältyvät esimerkiksi kurssiin Topologia I
• joitakin mittateorian käsitteitä --- kurssia tukisi esimerkiksi samaan aikaan käyty Mitta ja integraali tai Todennäköisyysteoria

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 12-14 ja to 14-16 salissa B322. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Pääsiäisloma 17.-23.4.

Luennot

Periodi 1

• 13.1. Johdanto (pdf-esitys)
• 16.1. Osa I. Todennäköisyysteoriaa (äärelliset todennäköisyysavaruudet, Kolmogorovin aksioomat)
  
  • luentomoniste20140116, esitys-mitta_ja_tn_teoria, lecture_notes_20140116
• 20.1. Osa I. Todennäköisyysteoriaa (reaalisten satunnaismuuttujien heikko konvergenssi)
  
  • luentomoniste20140120, lecture_notes_20140120
• 23.1. Osa I. Todennäköisyysteoriaa (tiukkuus, riippumattomien satunnaismuuttujien summat, suurten lukujen laki, keskeinen raja-arvolause)
  • luentomoniste20141023, lecture_notes_20140123
• 27.1. Osa I. Todennäköisyysteoriaa (satunnaiskävely, joka kurssin ensimmäinen varsinainen laajempi esimerkki (kts. Johdanto), uhkapelaajan vararikko, raja-arvolauseita)
  • luentomoniste 27.1., lecture notes 27.1.
• 30.1. Osa I. Todennäköisyysteoriaa (satunnaiskävely, palautuvuus ja väistyvyys)
  • luentomoniste 30.1., lecture notes 30.1.
• 3.2. Osa II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja (entropia ja Boltzmann jakauma)
  
  • luentomoniste 3.2, lecture notes 3.2.
• 6.2. Osa II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja (keskimääräisen kentän teoriaa eli Curie--Weiss-malli)
  • luentomoniste20140206
• 10.2. Osa II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja (Isingin malli)
  • luentomoniste 10.2., lecture notes 10.2.
• 13.2. Osa II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja (itseään välttävän polymeerin kombinatoriikkaa)
  • luentomoniste20140213, lecture_notes_20140213
• 17.2. Osa II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja (itseään välttävien polymeerien generoivia funktioita ja puoliavaruuspolymeerin termodynaamisesta rajasta)
  • luentomoniste20140217
• 20.2. Osa II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja (termodynaamisista rajoista)
  • luentomoniste20140220
• 24.2. Osa III. Jatkuva-aikaisia satunnaisprosesseja (Brownin liike)
  • luentomoniste 24.2., lecture notes 24.2.
• 27.2. Osa III. Jatkuva-aikaisia satunnaisprosesseja (Donskerin lause eli satunnaiskävelyn suppeneminen kohti Brownin liikettä)
  • luentomoniste 27.2.

Perioditauko

Periodi 2

• 10.3. Osa III. Jatkuva-aikaisia satunnaisprosesseja (Poisson-prosessi)
  
  • luentomoniste20140310
• 13.3 *** VÄLIKOE ***
• 17.3. Osa III. Jatkuva-aikaisia satunnaisprosesseja (hyppyprosesseja Poisson-presessista, jatkuva-aikainen satunnaiskävely, Isingin mallin Glauber-dynamiikka)
  • luentomoniste 17.3., lecture notes 17.3.
• 20.3. Osa III. Jatkuva-aikaisia satunnaisprosesseja (prosessien infinitesimaalisista generaattoreista)
  • luentomoniste 20.3., osa I, osa II, lecture notes 20.3.
• 24.3. Osa IV. Kaksiulotteisen Ising mallin ratkaisusta (gaussisten satunnaisvektorien Wickin kaava, fermioninen Wickin kaava)
  • luentomoniste20140324
• 27.3. Osa IV. Kaksiulotteisen Ising mallin ratkaisusta (siirtomatriisi ja fermionit)
  • luentomoniste 27.3., lecture notes 27.3
• 31.3. Osa IV. Kaksiulotteisen Ising mallin ratkaisusta (siirtomatriisi ja fermionit)
  • luentomoniste 31.3., lecture notes 31.3.
• 3.4. Osa IV. Kaksiulotteisen Ising mallin ratkaisusta (siirtomatriisi ja fermionit)
  • luentomoniste 3.4. osa I, osa II
• 7.4. Osa VI. Otantaa todennäköisyysjakaumista (yleistä otannasta, reaalisten satunnaismuuttujien sämplääminen, Markov ketjut)
  • luentomoniste20140407
• 10.4. Osa VI. Otantaa todennäköisyysjakaumista (redusoitumattomien jaksottomien Markov ketjujen konvergenssi stationaariseen jakaumaan)
  • luentomoniste20140410
• 14.4. Osa VI. Otantaa todennäköisyysjakaumista (esimerkkejä Markov-ketju Monte Carlo sämpläämisestä)
  • luentomoniste20140414
• 17.-23.4. *** Pääsiäisloma ***
• 24.4. Osa VI. Otantaa todennäköisyysjakaumista (Holleyn kriteeri, Ising malling korrelaatioepäyhtälö ja lisää esimerkkejä sämpläämisestä)
  • luentomoniste20140424
• 28.4. Osa V. Termodynaamisia rajoja ja faasitransitioita (faasitransitio Isingin mallissa)
  • luentomoniste 28.4.
    

Kurssin luennot ovat päättyneet.

Kokeet

Kurssi suoritetaan tentillä tai välikokeilla. Laskuharjoituksista saa lisäpisteitä.

Kirjallisuus

Kurssin päämateriaali on luentomuistiinpanot, jotka laitetaan saataville tälle sivulle.

• Osa I. Todennäköisyysteoriaa
• Osa II. Statistisen fysiikan satunnaismalleja
• Osa III. Jatkuva-aikaisia satunnaisprosesseja
• ...

Oppikirjoja kurssin eri aihepiireistä

Tämä lista täydentyy myöhemmin. 

• R. Durrett,  Probability: Theory and Examples
• G. Grimmett,  Probability on Graphs
• L. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics. Wiley-VCH, 2009.
• A. Sokal, Monte Carlo methids in statistical mechanics: foundations and new algorithms. Cargèse summer school 1996, Functional integration: basics and applications. Plenum, NY, 1997.

Ilmoittaudu kurssille

Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Laskuharjoitustehtävät

1. Harjoitustehtävät, 23.1.2014
2. Harjoitustehtävät, 30.1.2014
3. Harjoitustehtävät, 6.2.2014
4. Harjoitustehtävät, 13.2.2014
5. Harjoitustehtävät, 20.2.2014
6. Harjoitustehtävät, 27.2.2014
   • 6.3.2014 perioditauko
   • 13.3.2014 *** VÄLIKOE ***
7. Harjoitustehtävät, 20.3.21.3., C122 klo 10-12
8. Harjoitustehtävät, 27.3.
9. Harjoitustehtävät, 3.4.
10. Harjoitustehtävät, 10.4.
    
    • 17.-23.4. *** Pääsiäisloma ***
11. Harjoitustehtävät, 24.4.

Kurssin laskuharjoitukset ovat päättyneet.