Äärellisulotteinen lineaarialgebra, kevät 2015

Luennoitsija 

Aleksandr Pasharin

Laajuus

10 op.

 

Kuvaus

Nykymatematiikka on erittäin laaja tiede, johon mahtuu satoja eri aloja joilla on usein hyvin vähän yhteistä. On kuitenkin olemassa matematiikan osa-alueita, joiden perusteellista tuntemusta tarvitaan käytännössä jokaisella alalla, puhumattakaan matematiikan käytännön sovelluksista. 

 Liioittelematta voidaan sanoa, että yksi tärkeimpiä tällaisia "universaaleja" osa-alueita on äärellisulotteinen lineaarialgebra. Mitä tahansa matematiikkaa tutkit tai sovellatkin - enemmin tai myöhemmin törmäät lineaarialgebrallisiin menetelmiin. Niiden ymmärtämiseen ei lineaarialgebran peruskurssi läheskään riitä. Vastaan alkavat tulla duaaliavaruudet, ulkoalgebrat, alternoivat muodot, Cayley-Hamiltonit, ortogonaaliset matriisit, Jordanin normaalit muodot ja niin edelleen. Matematiikan aloihin, joissa lineaarialgebraa sovelletaan jatkuvasti, kuuluvat muun muassa Analyysi, Differentiaaligeometria, Transformaatioryhmät, Algebrallinen Topologia, Homologinen Algebra, Differentiaaliyhtälöt, Esitysteoria ja monet muut. Lineaarialgebrallisia menetelmiä sovelletaan runsaasti myös puhtaan matematiikan ulkopuolella esimerkiksi fysiikassa, lääketieteessä, kryptografiassa, taloustieteessä, tilastotieteessä ja liike-elämässä.

Näistä syistä jokaisen matematiikan opiskelijan on suorastaan elintärkeää perehtyä äärellisulotteiseen lineaarialgebraan syvällisemmällä tasolla. 

 Tämän kurssin tarkoitus onkin olla lineaarialgebran jatkokurssi, jossa perehdytään juuri sellaiseen (äärellisulotteiseen) lineaarialgebraan, josta on käytännön hyötyä matematiikan opiskelussa ja tieteellisessä tutkimuksessa. 

 Keskitymme tällä kurssilla siis lähinnä äärellisulotteiseen lineaarialgebraan.  ’’Ääretönulotteistä’’ lineaarialgebraa tutkitaan mm. Funktionaalianalyysin kurssilla.

Kurssin alustava sisältö:

Johdanto: Kertausta (lineaariset yhtälöryhmät)

Algebralliset struktuurit ja kunnat: Laskutoimitukset ja niiden ominaisuudet, ryhmät, renkaat, kunnat, homomorfismit, alistruktuurit ja tekijästruktuurit.

 Äärellisulotteiset vektoriavaruudet: Kanta, vapaus, dimensio. Duaaliavaruudet. Suorat summat. Multilineaariset kuvaukset, alternoivat muodot, determinantti. 

 Lineaarikuvaukset ääretönulotteisten vektoriavaruuksien välillä: Invariantit avaruudet, ominaisavektorit, ominaisarvot. Yhteys polynomeihin. Algebrallisesti suljetut kunnat ja vektoriavaruudet niiden yli. Polynomialgebrat. Karakteristinen polynomi. Cayley-Hamiltonin lause. Jordanin normaali muoto. 

 Sisätuloavaruudet: Reaali-ja kompleksiset sisätuloavaruudet. Duaaliavaruuden tulkinta ja adjunkti kuvaus. Symmetriset ja itse-adejungoidut operaattorit. Ortogonaaliset ja unitaariset kuvaukset. Normaalit operaattorit, diagonalisointiongelma. Positiivisesti definiitit operaattorit. Polaarinen esitys. 

 Modulit: Modulien teoria. Äärellisviritteiset Abelin ryhmät ja niiden hajotelmalause. Zornin lemma ja sovellukset: maksimaaliset ideaalit, kannan olemassaolo, dimension yksikäsitteisyys.

 Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I-II tai vastaava lineaarialgebran peruskurssi. Algebra I on erittäin suositeltava. Kurssin alussa käydään läpi "johdatuksena" Algebra I asioita, sen verran kuin kurssilla tarvitaan, mutta jos näitä asioita ei ole nähnyt jossakin muodossa aikaisemmin, seuraaminen voi olla vaikeata tai ainakin vaatisi itsenäistä lisätyötä. 

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 14-16 ja to 12-14 salissa D123. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia ke 12-14 salissa C122.
HUOM ensimmäinen laskuharjoitustilaisuus pidetään jo viikolla 3 ke 14.12  eli samalla viikolla kun kevään opetus alkaa. 
KURSSIN VIIMEINEN LUENTO TO 30.4. ON KERTAUSLUENTO

Pääsiäisloma 2.-8.4.

Luentomateriaali:

Johdanto - lineaaristen yhtälöryhmien teorian kertausta 
Luku 1 - Algebralliset operaatiot ja kunnat
Luku 2 - Äärellisulotteiset vektoriavaruudet
Luku 3 - Lineaariset operaattorit (HUOM PÄIVITETTY 26.04.2015)
Luku 4 - Sisätuloavaruudet (HUOM PÄIVITETTY 26.04.2015)
Luku 5 - Modulit (HUOM Tätä ei tarvitse osata toisessa välikokeessa)

Tiivistelmät - toisen väkikokeen koealue:
Luku 3+suorat summat
Luku 4

Näistä saattaa olla iloa yleistentteihin osallistuvalle:
Välikoe 2 6.5. - Ratkaisut


''Lineaarialgebra ja matriisilaskennan' peruskurssien materiaalia: Osa 1 Osa 2
Neuvo: aloita kertaamalla peruskurssin asioita näiden matskujen avulla. 

Kaisa Pohjosen kirjoittama esitelmä algebrallisista sulkeumista

KURSSIN TOINEN VÄLIKOE pidetään ke 6.5. klo 12-15 salissa A111 ja B123.  Ilmoittaudu kokeseen kansliassa tai kurssin opettajalle.
 Jos tämä aika ei sovi, toinen kurssikoe (tai halutessaan koko kurssi) voi myös tenttiä toukokuun yleistenttien yhteydessä 12.5 tai 20.5. Jos tämä vaihtoehto kiinnostaa, ota yhteyttä opettajaan ja ilmoittaudu yleistenttiin kansliassa ajoissa. Yleistenttiin voi mennä myös siinä tapauksessa, jos tuntuu siltä, että toinen välikoe ei mennyt hyvin ja haluaa yrittää uudestaan. Siinäkin tapauksessa ota opettajaan yhteyttä heti toisen välikokeen jälkeen.  HUOM JOS HALUAT TENTTIÄ KOKO KURSSI KERRALLA (EIKÄ VAIN TOINEN VÄLIKOKEISTA) OTA EHDOTTOMASTI ERIKSEEN YHTEYTTÄ OPETTAJAAN.

HUOM Toisessa välikokeessa laskimen käyttö ON sallittu. Lisäksi sallitaan, että lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisut, matriisien determinantit ja matriisien algebralliset manipulaatiot (esim. kertolasku) lasketaan suoraan laskimella jolloin laskun välivaiheita ei koepaperiin tarvitse kirjoittaa näkyviin. 

UPDATE: Toinen välikoe 6.5. on tarkistettu. Ota yhteyttä opettajaan jos tulokset kiinnostavat. HUOM Kummassakin välikokeessä läpipääsyraja 50%




Neuvoja kokeseen lukemiseen (HUOM UPDATE, nyt koskee toista välikoetta): 

• Älä lue pelkkää teoriaa. Koetehtävät muistuttavat enemmän laskuharjoituksia kuin teorettista matskua. Toki teoriakysymyksiäkin voi tulla, mutta pääpaino on teorian soveltamisessa. 
• Joten tutustuu tehtäviin ja erityisesti malliratkaisuihin
• Älä kuitenkin vaan lue ratkaisuja passiivisesti. Yritä ensin miettiä tehtäviä (uudestaankin, jos olet niitä kurssilla aikaisemmin laskenut) itsenäisesti. 
• Kurssin kotisivulta löytyy nyt kertaustiivistelmiä toisen. välikokeen koealueen asioista.
• 26.4 on ilmestynyt uusia päivitettyjä versioita matskuista, joissa typoja on (osittain) korjattu. 
• Kokeessa tulee olemaan valinnanvaraa - tarjotaan paljon tehtäviä, joista pitää valita oman maun mukaan neljä. 
• Toisen välikokeen koealue - Luvut 3 (lineaariset operaattorit) ja 4 (sisätuloavaruudet). Luku 5 (modulit) on ylimääräistä bonus materiaalia ja sitä EI TARVITSE OSATA toisessa välikokeessa. Suorista summista (Luku 2.6, ei ollut ensimmäisessä väikokeessa mukana) ei tule erillisiä tehtäviä, mutta niitä on silti osattava, sillä suoria summia sovelletaan jatkuvasti Luvuissa 3 ja 4
• Kuten yllä on jo mainittu laskimen käyttö on sallittu. Lisäksi laskennallisia välivaiheita ei tarvitse kirjoittaa näkyviin. Tarkemmin sanottuna - lineaariset yhtälöryhmät, matriisien determinantit ja matriiseilla laskeminen saa suorittaa laskimella, jolloin koepaperissa riittää antaa laskun lopputulos.

Luentopäiväkirja

12.1 - Johdatteleva keskustelu kurssista. Lineaaristen yhtälöryhmien teorian kertausta

15.1 - Algebran kertausta, osa I. Laskutoimitukset, Liitännäisyys, Vaihdannaisuus, Neutraalialkio, Käänteisalkiot. Ryhmät, Renkaat, Kunnat. Kompleksilukujen kunta.
19.1 - Homomorfismit, Alistruktuurit, Tekijästruktuurit. Z_n on kunta jos ja vain jos n on alkuluku.
22.1 - Hajotelma- ja isomorfialauseet. K-vektoriavaruudet - määritelmä, ominaisuudet ja esimerkkejä.
26.1 - Aliavaruudet, Lineaariset kuvaukset ja tekijäavaruudet. Joukon A virittämä aliavaruus Span(A). Lineaariset kombinaatiot.
29.1 - Lineaarinen riippumattomuus, vapaat joukot ja kannat. Dimensio. Äärellisulotteiset vektoriavaruudet.  
2.2 - Lineaaristen kuvausten muodostama vektoriavaruus L(V, W). Matriisit. Lineaarisen kuvauksen matriisi kantojen suhteen. Lineaaristen kuvausten yhdistäminen ja matriisien kertolasku.  
5.2 - Matriisiin liittyvä kanoninen kuvaus. Kantojen vaihto. Lineaariset kuvaukset ja dimensiokysymykset. Matriisin aste ja sarakeavaruus. Lineaaristen yhtälöryhmien teoria vektoriavaruuksien teorian näkökulmasta. Duaaliavaruuden käsite ja duaalikanta. 
9.2 - Duaaliavaruus.
12.2 - Refleksivisyys. Multilineaariset kuvaukset. Permutaatio ja sen merkki. Symmetriset, antisymmetriset ja alternoivat muodot.
13.2 - Alternoivien muotojen vektoriavaruus. Determinantti ja sen ominaisuudet. 
20.2 - Determinantin ominaisuudet. Kompleksiluvut matriiseina. Aliavaruuksien summa ja suoran summan määritelmä. 
23.2 - Sisäinen ja ulkoinen suora summa. Suora tulo ja sen universaaliominaisuus
26.2 - Suoran summan universaaliominaisuus. Luku 3 - invariantit aliavaruudet ja niiden yhteys operaattorin matriisiesitykseen.
9.3 - Komplementariset invariantit aliavaruudet. Ominaisarvot ja ominaisvektorit. 

12.3 - Ominaisarvot polynomiyhtälön juurena. Algebrallisesti suljetut kunnat ja algebran peruslause. Operaattorin esitys yläkolmiomatriisina. 
16.3 - Polynomialgebra. Jaollisuus polynomialgebrassa. Sijoitushomomorfismi. 
19.3 - Polynomit juuret. Algebralliset alkiot. 

23.3 - Operaattorin ja matriisin minimi- ja karakteristinen polynomit. Ominaisarvon geometrinen ja algebrallinen kertaluku. Cayley-Hamiltonin Lause.

26.3 - Minimipolynomin ja karakteristisen polynomit välinen yhteys. Lemma 3.89 ja Propositio 3.90.

30.3 - Nilpotentin operaattorit. Jordanin normaali muoto. HUOM Luku 3 käyty läpi loppuun asti, pääsiaisloman jälkeen siirrytään seuraavaan aiheseen (sisätuloavaruudet)
9.4 - Sisätuloavaruudet - määritelmä ja perusominaisuudet. Ortogonalisuus. Gram-Schmidt. Ortgonaalinen komplementti.
13.4 - Ortogonaalinen projektio.Adjungaatti. Unitaarisuus.
16.4. - Ortogonaaliset (2x2)-matriisit. Diagonalisoituvuus ortonormaalissa kannassa. Normaalit operaattorit ja matriisit sekä niiden ominaisuudet.
20.4 -  Diagonalisoituvuus ortonormaalissa kannassa - ongelman ratkaisu. Itseadjungoidut matriisit ja operaattorit ja niiden ominaisuudet. Normaalit operaatorit R-sisätuloavauuksissa.
23.4 - Hermiittiset muodot sisätuloavaruuksissa. Positiivisesti (semi)definiitit muodot ja matriisit. Polaarinen hajotelma. Modulin käsite ja esimerkit.
27.4 - Modulien teoria
30.4 HUOM VIIMEINEN LUENTO ON KERTAUSLUENTO

Tiivistelmät kurssin teoriasta (ensim. välikokeen alue): 
Algebra (Luku 1)
Vektoriavaruudet
Äärellisulotteiset vektoriavaruudet

Lineaariset kuvaukset ja matriisit

Duaaliavaruus

Multilineaariset kuvaukset ja determinantit

Laskuharjoitukset 

Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Harjoitus 2 Ratkaisut 2
Harjoitus 3 Ratkaisut 3
Harjoitus 4 Ratkaisut 4
Harjoitus 5 Ratkaisut 5

Harjoitus 6 Ratkaisut 6
Harjoitus 7 Ratkaisut 7

Harjoitus 8 Ratkaisut 8  
Harjoitus 9 Ratkaisut 9
Harjoitus 10 Ratkaisut 10

Harjoitus 11 Rakaisut 11
Harjoitus 12 Ratkaisut 12
Harjoitus 13 Ratkaisut 13
Harjoitus 14 Ratkaisut 14

Kokeet

2 välikoetta.

ENSIMMÄINEN VÄLIKOE pe 6.3. klo 12-15 luokassa D122. 
KURSSIN TOINEN VÄLIKOE pidetään ke 6.5. klo 12-15 ''algebralliset rakenteet II'' kurssin kokeen yhteydessä saleissa A111 ja B123. 

 Kummassakin kokeessa on 4 tehtävää, joista jokainen on korkeintaan 6 p. arvoinen. Kurssin laskuharjoituksista lisäksi saa lisäpisteitä seuraavasti: 

25% - 2 pistettä, 40% - 4 pistettä, 50% - 5 pistettä, 75% - 6 pistettä, missä prosentit lasketaan kurssin kummastakin puoliskosta erikseen.

Kirjallisuus

Ilmoittaudu kurssille

Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset