Autonomiset systeemit, kevät 2015
Autonomiset systeemit, kevät 2015
Luennoitsija
Laajuus
10 op.
Tyyppi
Syventävä opinto
Kurssikuvaus
Mitä reaalimaailman ilmiötä tarkasteleekaan, usein kiinnostaa mihin tilanne lopulta johtaa, siis ilmiön loppukäyttäytyminen, ja myös sen stabiilisuusominaisuudet - ennustettavuuden kannalta on suotavaa paksunahkaisuus pieniin häiriötekijöihin. Matematiikka tarjoaa erilaisia työkaluja ilmiöiden mallintamiseen ja siten ennustamiseen, ja tuiki tavallisia, perinteellisiäkin, ovat differentiaaliyhtälöt tai niiden systeemit (joissa monta yhtälöä). Useinkaan systeemin matemaattista ratkaisua ei saada suljetussa muodossa, mutta siitä huolimatta ratkaisun (jonka tiedetään olevan olemassa) käyttäytymisestä, dynamiikasta, voidaan sanoa yhtä sun toista. Tällaista analyysiä kutsutaan laadulliseksi, ja se luonnistuu erityisesti nk. autonomisissa systeemeissä (kyllä vähän muissakin). Nämä ovat yhden muuttujan funktioiden differentiaaliyhtälösysteemejä, joissa vapaa muuttuja (aika) ei esiinny eksplisiittisesti. Kyseessä kylläkin rajoitettu aliluokka, mutta aika tavallinen sovelluksissa. Lyhyesti, jos ajassa kehittyvää ilmiötä säätelevät ehdot eivät suoraan riipu ajasta, mallintavasta differentiaaliyhtälösysteemistä tulee autonominen: siinäkään aika ei esiinny eksplisiittisesti.
Kurssin aihe on autonomisten systeemien dynamiikka ja sisältää ainakin kaksi kiinnostuksen kohdetta. Ensinnäkin kysymyksen, josko systeemi eli systeemin ratkaisu kehittyy kohti jotain rajatilaa. Tämä - laveasti ymmärrettynä - voi olla vaikka systeemin periodinen ratkaisu. Ongelman dimensio näyttelee asiassa suurta roolia, topologisista syistä. Kurssissa todistetaan taso-ongelman rajatilaa koskeva klasssikko, Poincarén-Bendixsonin lause.
Toinen kiinnostava ongelma on kysymys systeemin ratkaisujen stabiilisuudesta, siis jos ratkaisua hieman häiritään, alkuehtoa hieman muutetaan, pysyykö häiritty ratkaisu lähellä alkuperäistä aina hamaan loppuun asti (jonkin matkaahan näin käy, jatkuvuuden nojalla). Tämä kysymys nousi tapetille viimeistään, kun Poincaré pyrki selvittämään, onko auringon, planeettojen ja muiden asiaan kuuluvien kappaleiden liikesysteemi iäti platonisen pysyvä. Hän päätyi ihmettelemään, ettei asia olekaan niin yksinkertainen kuin alkuun voisi luulla. Jos ottaa toisen esimerkin vaikka epidemiologiasta, niin täysin terve populaatio on tasapainotila nolla sairastuneiden määrässä. Jos tämä tila on stabiili, ja populaatioon ilmaantuu muutama sairas, ei synny mitään epidemiaa, vaan tauti hiipuu vähin äänin. Jos tasapainotila on puolestaan epästabiili, niin epidemia syntyy vääjäämättä. On selvää, että tällaiset asiat kiinnostavat epidemiologeja, ja kaikki se mikä asiaan vaikuttaa (systeemin parametrit, esimerkiksi rokotukset). Kurssissa todistetaan stabiilisuutta koskevia klassisia tuloksia Poincerélta, Perronilta ja Lyapunovilta.
Kurssi käy hyvästä esimerkistä, kuinka topologiset asiat ovat keskellä analyysiä.
Esitietovaatimukset
Perusanalyysi (kurssit Analyysi I ja II), mielellään differentiaaliyhtälöt (kurssit DY I ja II) ja perustopologia (Topo I). Jonkin verran tarvitaan lineaarialgebraa ja ehkäpä vektorianalyysiä, mutta näistä lainattavat lauseet on helppo selittää aina kun niitä tarvitaan.
Luentoajat
Viikot 3-9 ja 11-18 ti 10-12 ja to 10-12 B321. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.
Pääsiäisloma 2.-8.4.
Kokeet
Kurssikokeet ke 4.3. 12-15 ja ke 6.5. 12-15, molemmat salissa A111 tai B123.
Tentin 4.3. alue: kirjoitettujen luentojen luvut I, II.1 (ei II.2) ja III.1 (melkein kokonaan), siis sivut 1-35 ja 41- 51 2/3, ja harjoitukset 1-6.
Tentin 6.5. alue: kirjoitettujen luentojen sivut 57 - 96 ja harjoitukset 7-12.
Kirjallisuus
Käsinkirjoitetut luennot linkistä . Ne ovat myös kansiossa huoneessa C127.
Muuta kirjallisuutta:
D.W.Jordan, P.Smith: Nonlinear Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford 1977,
R.K.Nagle, E.B.Saff, A.D.Snider: Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Pearson 2008,
F.Brauer, J.A.Nohel: The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York 1989,
F.Brauer, Castillo-Chávez: Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, 2001,
J.K.Hale: Ordinary Differential Equations, Krieger, New York 1980.
Kurssi seuraa pääasiassa ensin mainittua kirjaa.
Ilmoittaudu kurssille
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!
Laskuharjoitukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | ti | 12-14 | C129 | Lars Lamberg |
Huomaa muuttunut kellonaika. Ensimmäiset laskarit 20.1. Harjoitus 7 tauon jälkeen vasta ti 17.3.
Laskuharjoitustehtävät
Kurssikokeet
Muuta
Harjoituksista saa kurssikoesuoritukseen enimmillään 10 lisäpistettä seuraavan prosentuaalisen suorituksen mukaan:10%- 1, 15%- 2, 20%- 3, 30%- 4, 40%- 5, 50%- 6, 60%- 7, 70%- 8, 75%- 9, 80%- 10.
Tentin 4.3. alue: Kirjoitettujen luentojen luvut I, II.1 (ei II.2) ja III.1 (melkein kokonaan), siis sivut 1-35 ja 41- 51 2/3, ja harjoitukset 1-6. Tentin 6.5. alue: kirjoitettujen luentojen sivut 57 - 96 ja harjoitukset 7-12.