Kompleksianalyysi I, syksy 2016
Kompleksianalyysi I, syksy 2016
Ajankohtaista.
Toisen välikokeen ja koko kurssin tulokset nyt laitoksen "Koetulokset"-sivulla.
Seuraavat/viimeiset Harjoitukset 13.12. (sillä 6.12. ei harjoituksia); tehtäviä "tuplasti", ne yhdistävät kahdet harjoitukset, sekä viikon 28.11-2.12 että viikon 5.12 - 9.12 asiat.
Viimeiset luennot 5.12 ja 7.12.
Toinen kurssikoe 15.12., koealue muistiinpanojen luvut 6 - 9, Harjoitukset 6 - 11.
Vastuuopettaja: Kari Astala
Laajuus: 10 op
Tyyppi: Syventävä opinto
Esitietovaatimukset: Esitietoina tarvitaan ensinnäkin kurssi Johdatus Yliopistomatematiikkaan.
Tarvitaan myös kurssit Analyysi I ja Analyysi II, joita vastaavat kurssit Raja-arvot, Differentiaalilaskenta, Integraalilaskenta sekä Sarjat.
Lisäksi esitietoina tarvitaan kurssi Vektorianalyysi, eli vastaavat kurssit Vektorianalyysi 1 ja 2.
Kurssi Topologia I on suositeltava.
Opetus: Luennot viikoilla 36-42 ja 44-50, maanantaisin ja keskiviikkoisin klo 12-14, salissa C123.
Harjoitukset: Kurssiin kuuluvat viikottaiset harjoitukset, tiistaisin klo 10-12, salissa C 122. Tehtävät kurssisivulla ed.viikon keskiviikkona.
Sisällöstä:
Kurssi käsittelee analyysiä kompleksiluvuilla; erityisesti tutkitaan funktioita joiden muuttujat (ja arvot) ovat kompleksilukuja - tällaisilla funktioilla on yllättävän vahvoja ominaisuuksia. Kompleksilukujen joukko voidaan ajatella tasona (nk. kompleksitasona), ja sitä kautta kompleksiluvuilla tehtävä analyysi yhdistyy myös kauniilla tavalla geometriaan.
Ensin kertaamme kompleksilukujen perusominaisuudet. Tämän jälkeen tutustumme kompleksilukuarvoisten funktioiden derivoimiseen ja integroimiseen. Kompleksifunktioiden derivoiminen on samanlaista kuin reaalifunktioilla, mutta integroiminen kompleksitasossa vaatii vektorianalyysissä käsiteltävää polkuintegrointia. Tulemme havaitsemaan, että kompleksisesti derivoituvilla funktioilla on monia erityisominaisuuksia, joita reaalifunktioilla ei yleensä ole.
Kompleksisesti derivoituvien funktioiden (nk. analyyttisten funktioiden) vahvojen ominaisuuksien vuoksi tällä aihepiirillä on runsaasti sovelluksia lähestulkoon kaikilla puhtaan ja soveltavan matematiikan alueilla, aina lukuteoriasta fysiikkaan ja insinööritieteisiin.
Kurssin sisältöä alustavasti:
- kompleksiluvut ja kompleksitason topologiaa
- analyyttisen funktion määritelmä ja perusominaisuudet
- eksponentti- ja logaritmifunktio
- Möbius-kuvaukset ja muut konformikuvaukset
- Cauchyn integraalilause ja integraalikaava
- analyyttisen funktion potenssisarjaesitys
- Liouvillen lause ja algebran peruslause
- maksimiperiaate ja Schwarzin lemma
Kokeet
Kurssilla on kaksi kurssikoetta.
Ensimmäinen kurssikoe keskiviikkona 26.10. klo 9.15, sali CK 112. Tulokset laitoksen "Koetulokset"-sivulla. Kokeen keskiarvo oli 17,6/ 24
Toinen kurssikoe on torstaina 15.12. klo 16.15 Exactumin auditorioissa.
II kurssikokeen alue: muistiinpanojen luvut 6 - 9, Harjoitukset 6 - 11. Toisen välikokeen keskiarvo 15,7/24, tulokset laitoksen "Koetulokset"-sivulla.
Kurssikokeiden kesto on 2,5 h.
Kurssikokeissa sallitut apuvälineet: Kynä, pyyhekumi (Ei taulukkokirjoja eikä laskimia)
Kurssimateriaali
Kurssimuistiinpanot kokonaisuudessaan, luvut 1. - 9., löytyvät .
Huom: Luennoilla kaksoissuhdetta luvussa 6. sivuttiin vain lyhyesti. (asia ei mukana tentissä)
Taustaa ja lisäesimerkkejä kompleksiluvuilla laskemisesta voi kerrata esim. L. Oinosen monisteesta
Kirjallisuutta
Esim. seuraavia kirjoja voi soveltuvin osin käyttää kurssin tukena.
J.W. Brown & R.V. Churchill: Complex Variables and Applications (8th ed.), McGraw-Hill, 2009.
J.B. Conway: Functions of One Complex Variable I (2nd ed.), Springer, 1978.
R. E. Greene & S. G. Krantz: Function Theory of One Complex Variable (2nd ed.), AMS, 2002.
O. Lehto: Funktioteoria I--II, Limes ry, 1982.
B. Palka: An Introduction to Complex Function Theory, Springer, 1991.
W. Rudin: Real and Complex Analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, 1987.
Ilmoittaudu kurssille
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!
Laskuharjoitukset
Harjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:
25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.
Harjoitustehtävät (Note: Exercises are now also in English)
HUOM: pieniä painovirheitä korjattu tehtävässä 8, sekä 4.12. että toinen 7.12.
Harjoitusryhmät
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | ti | 10-12 | C122 | Lauri Hitruhin |
Palautetta kurssista
Matematiikan ja tilastotieteen laitoksella on käytössä jatkuva palautteen keruu eli voit antaa palautetta missä tahansa kohdassa kurssia. Palautelomakkeeseen pääset täältä.