Stokastiset differentiaaliyhtälöt, syksy 2009

Luennoitsija

Petteri Piiroinen

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Johdatus todennäköisyyslaskentaan tai vastaavat tiedot. Stokastisten prosessien kurssi on hyödyllinen, muttei välttämätön. Perustiedot mitta- ja integroimisteoriasta ovat eduksi, mutta eivät välttämättömiä. Differentiaaliyhtälöiden ja vastaavien tuntemuksestakaan ei ole haittaa.

Luentoajat

Viikot 37-43 ja 45-51 ma 12-14 C323, ti 14-16 C123.

Ensimmäinen luento on tiistaina 8.9.

Kokeet ja suorittaminen

Kurssi suoritetaan kahdella kurssikokeella, joiden ajankohdat ilmoitetaan myöhemmin.

Ensimmäinen kurssikoe on tiistaina 20.10 kello 14-16 salissa C123 (eli luentosalissa). Koealue käsittää luvut 1-4 ja harjoitukset 1-4 eli harjoitus 5 ei tule ensimmäiseen kurssikokeeseen.

Toinen kurssikoe on tiistaina 15.12 kello 14-16 salissa C123 (eli luentosalissa luentoaikaan). Koealue käsittää luvut 5-7 ja harjoitukset 6-10. Luvusta 7 kysytään pelkästään määritelmiä (myös niitä mitkä käymme läpi lyhyesti vielä maanataina 14.12.)

Tiistaina 22.12 kello 12-16 (joko salissa A111 tai B123 riippuen salijaosta) olevassa laitoksen yleistentissä on myös mahdollista suorittaa kurssi. Ilmoittautuminen lopputenttiin tapahtuu sähköpostitse Petteri Piiroiselle viimeistään torstaina 17.12. Tentti käsittelee koko kurssin aluetta (eli lukuja 1-7).

Kurssilla ei ole varsinaista laskuharjoitusryhmää, mutta luennoilla jaetaan harjoitustehtäviä, joista saa lisäpisteitä 0-6.

Sisältö

Kurssi Stokastiset differentiaaliyhtälöt on matematiikan syventävien opintojen kurssi.

Kurssilla on tarkoitus tutustua stokastisiin differentiaaliyhtälöihin, joilla on sovelluksia monilla aloilla kuten vakuutus- ja finanssimatematiikassa tai vaikka tutkamittausten teoriassa. Kurssia voi pitää jonkinlaisena jatkeena kurssille Stokastiset prosessit, mutta on kuitenkin siitä riippumaton.

Kurssilla tutustutaan jatkuva-aikaisiin stokastisiin prosesseihin, jotka on palautettavissa Brownin liikkeeseen differentiaaliyhtälöiden välityksellä. Eräänä sovelluksena tarkastelemme stokastisten differentiaaliyhtälöiden yhteyttä analyysin kursseilta mahdollisesti tuttuihin reuna-arvotehtäviin. Tarkkaa kurssisuunnitelmaa ei ole vielä laadittu, mutta alustavasti käsittelemme kurssilla muun muassa seuraavia asioita:

• Brownin liike
• martingaalit
• pysäyttäminen
• stokastiset integraalit
• Itô-laskenta
• Kakutanin kaava
• Feynmanin-Kacin kaava
• lokaali aika
• Tanakan kaava
• heijastettu Brownin liike

Pyrimme kurssilla lähestymään asioita mahdollisimman yksinkertaisesti teknisiä kohtia vältellen, muttei pakoillen...

Kirjallisuus

Kurssi ei seuraa mitään yksittäistä kirjaa. Hyödyllisistä kirjoista ilmoitetaan myöhemmin.

Luentorunko paloissa

Kurssin luennot ilmestyvät kurssin kotisivulle luentojen kanssa samaa tahtia. Kunkin tiedoston kohdalle on
 merkitty päivityshetki ja myös virheitten jälkikäteen korjailut.

Johdanto (Kappale 0) (päivitetty 09.09.2009)
Todennäköisyydestä ja merkinnöistä (Kappale 1) (päivitetty 15.09.2009 korjattu pari pianovirhettä)
Brownin liike (Kappale 2) (päivitetty 15.09.2009)
Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus (Kappale 3) (päivitetty 06.10.2009)
Martingaalit ja lokaalit martingaalit (Kappale 4) (päivitetty 06.10.2009)
Stokastinen integrointi (Kappale 5, alkuosa) (lisätty 13.10.2009)
Stokastinen integrointi (Kappale 5, toinen osa) (päivitetty 09.11.2009)
Stokastinen integrointi (Kappale 5, loppuosa) (lisätty 13.11.2009)
Sovelluksia stokastiselle integroinnille (Kappale 6, alkuosa) (päivitetty 23.11.2009)
Sovelluksia stokastiselle integroinnille (Kappale 6, loppuosa) (päivitetty 7.12.2009)
Stokastiset differentiaaliyhtälöt (Kappale 7) (lisätty 7.12.2009)

Harjoitustehtävät

Harjoitustehtävät voivat ainakin alkuun elää hieman omaa elämäänsä, sillä monia asioita, joita
 luennoilla ei ole ennätetty kertailla saatetaan käydä niissä.

Harjoitus 1 (muokattu 21.09.2009)
Harjoitus 2 (lisätty 22.09.2009)
Harjoitus 3 (lisätty 30.09.2009)
Harjoitus 4 (muokattu 08.10.2009 Tehtävässä 2 oli virheellinen väite)
Harjoitus 5 (muokattu 16.10.2009 Tehtävässä 1 piti lukea B(t)³ -3tB(t) eikä B(t)³ - tB(t))
Harjoitus 6 (lisätty 05.11.2009)
Harjoitus 7 (lisätty 11.11.2009)
Harjoitus 8 (lisätty 18.11.2009)
Harjoitus 9 (lisätty 26.11.2009)
Harjoitus 10 (lisätty 3.12.2009)

Ratkaisuehdotelmat

Ratkaisuehdotelmiakin kannattaa lähestyä terveellä kriittisyydellä, sillä ehdotelmat ovat usein varsin pikaisesti laadittuja, ja voivat
 helposti sisältää pieniä "kömmähdyksiä". Siksi kannattaakin myös katsoa, onko niitä myöhemmin muokattu.

Ehdotelma 1 (lisätty 23.9.2009)
Ehdotelma 2 (lisätty ja muokattu myös 1.10.2009)
Ehdotelma 3 (lisätty 07.10.2009)
Ehdotelma 4 (lisätty 14.10.2009)
Ehdotelma 5 (lisätty 19.10.2009, mutta tämä ei tule kokeeseen.)
Ehdotelma 6 (lisätty 17.11.2009)
Ehdotelma 7 (lisätty 23.11.2009)
Ehdotelma 8 (lisätty 2.12.2009)
Ehdotelma 9 (lisätty 8.12.2009)
Ehdotelma 10 (lisätty 10.12.2009)

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.