Reaalianalyysi II, syksy 2013

Last modified by pemattil@helsinki_fi on 2024/03/27 10:43

Reaalianalyysi II, syksy 2013

Luennoitsija

Pertti Mattila

Laajuus

10 op..

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Kurssit Mitta ja integraali sekä Reaalianalyysi I.

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 to 10-12, pe 10-12 C123. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Huom: 10. ja 11.10. ei ole luentoja.

Kurssikuvaus

Reaalianalyysi II soveltuu valinnaiseksi erikoiskurssiksi matematiikan syventäviin opintoihin (ent. laudatur-oppimäärä).
Kurssilla syvennetään ja laajennetaan peruskursseilla "Mitta ja integraali" ja "Reaalianalyysi I" opittuja tietoja. Erityisesti luentojen teemana on mittateoriaan liittyvät geometriset kysymykset ja niiden sovellukset; kurssi on siis myös johdatus geometriseen mittateoriaan.

Sisältö

Mittojen laajennus- ja yksikäsitteisyyslauseet
Tulomitat ja Fubinin lause
Hausdorffin mitat ja joukkojen Hausdorffin dimensio
Suoristuvat ja epäsuoristuvat joukot
Mittojen heikko topologia
Massajaon periaate ja Frostmanin lemma
Itsesimilaarit fraktaalit
Besicovitchin ja Vitalin peitelauseet
Mittojen derivointi ja Radon-Nikodymin lause
Rademacherin lause (Lipschitz-funktioiden differentioituvuus)
Whitney'n peite- ja laajennuslause

Kurssimateriaali

Luentomuistiinpanot: MoRA.pdf

Sopivaa oheislukemistoa tarjoavat (valikoiduin osin) mm. seuraavat kirjat:

A.M. Bruckner, J.B. Bruckner and B. Thomson: Real Analysis (Prentice Hall)
L. Evans & R. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions (CRC Press)
K. Falconer: Fractal geometry: Mathematical foundations and applications (Wiley & Sons)
K. Falconer: The Geometry of Fractal Sets (Cambridge University Press)
F. Jones: Lebesgue integration on Euclidean spaces (Jones and Bartlett)
P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability (Cambridge University Press)
W. Rudin: Real and complex analysis (McGraw-Hill)

Kokeet

Kurssi suoritetaan erilliskokeella (eli loppukokeella). Tenttimisestä on ensin sovittava luennoitsijan kanssa ja sitten käytävä laitoksen kansliassa (Exactumin huone C329) täyttämässä ilmoittautumislomake.