Raja-arvot, syksy 2016

The [toc] macro is a standalone macro and it cannot be used inline. Click on this message for details.
This macro generates standalone content. As a consequence you need to make sure to use a syntax that separates your macro from the content before and after it so that it's on a line by itself. For example in XWiki Syntax 2.0+ this means having 2 newline characters (a.k.a line breaks) separating your macro from the content before and after it.

Ajankohtaista

Opetusajat

Viikot 36-42

Luennot auditorioissa A111

• ti 12-14
• to 10-12 .

Lisäksi ohjausryhmiin osallistumista.

Kokeet

• Kurssikoe to 27.10. klo 12.15-14.45 Exactumin auditorioissa
• Mikäli et pääse kurssikokeeseen painavasta syystä, niin voit sopia luennoitsijan kanssa osallistumisesta kurssin Vektorianalyysi kurssikokeen yhteydessä järjestettävään korvaavaan kokeeseen
• Kurssikokeen voi myös korvata osallistumisella myöhemmin laitostenttiin. Harjoituspisteet ovat voimassa myös siellä.

Kurssikoe kestää 2,5 tuntia. Ylioppilaskokeessa sallitut laskimet ovat sallittuja myös siellä. Taulukkokirja ei ole sallittu.

Kirjallisuus

Petteri Harjulehto, Riku Klén ja Mika Koskenoja: Analyysiä reaaliluvuilla, Unigrafia 2014/2015. Kirjaa painetaan "on demand"-periaatteella ja sitä voi tilata linkistä

http://shop.unigrafia.fi/

Toimitustavaksi kannattaa valita "Nouto: Kumpulan noutopiste", jolloin toimitus on maksuton. Huomaa, että tilauslomakkeessa toimitustapavalikon oletusvalinta on postipaketti, jolloin kirja toimitetaan postitse kotiosoitteeseen ja kirjan hintaan 29 € lisätään toimituskuluja 6,50 €.

Ohessa on kirjasta n. 50 sivua (luvut 1.1-2.2 + sisällysluettelo + hakemisto) pdf-tiedostona:

Kurssikirjan alkua

Muuta luettavaa on esimerkiksi vanha Ritva Hurri-Syrjäsen kijoittama materiaali, joka löytyy tästä osoitteesta

https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/86363615/Analyysi1H-S.pdf?version=1&modificationDate=1346656943157&api=v2

Lisäksi Lauri Myrbergin vanha kirjapari "Differentiaali- ja intergraalilaskenta I - II" on hyvää luettavaa kaikkia neljää ensimmäisen vuoden analyysin kurssia varten. Toisaalta se on nykyiseen kirjaan verrattuna "viitteellisempi" ja toisaalta jotkut asiat nousevat siinä selkeästi esille. Erona uudempiin materiaaleihin on ns. Heine-Borelin lauseen käyttö muutamassa teoreettisemmassa kohdassa.

Ulkomaiset Calculus-kirjat ovat myös hyvää oheisluettavaa, kunhan huomaa, etteivät ne käsittele asiaoita kaikin osin yhtä teoreettisesti kuin kurssimme.

Sähköiset työalueet

Kurssilla on käytössä kaksi sähköistä työaluetta, jotka täydentävät toisiaan: moodle ja presemo. Kurssin moodlealue löytyy osoitteesta

https://moodle.helsinki.fi/mod/forum/view.php?id=737599

ja kurssin presemoalue löytyy osoitteesta

http://presemo.helsinki.fi/joluento/ .

Moodlessa julkistetaan mm. harjoitustehtävät ja niiden ratkaisut. Lisäksi moodlessa voimme kirjoittaa matemaattisia kaavoja ja käydä pitkiäkin pohdintoja sisältäviä keskusteluja. Moodleen kirjoitetut viestit sälyvät kaikkien luettavissa koko syksyn ajan. Viestien löytämistä helpottaa, mikäli pysyttäydytään kunkin keskustelun otsikon aihepiirissä. Voimme kaikki tarvittaessa käynnistää uusia keskusteluja kun vanha keskustelu on lähdössä uusille urille tai muuten vaan tule tarvetta pohtia uusia aiheita. Moodlessa täytyy esiintyä omalla nimellä.

Presemossa voi sen sijaan esittää anonyymisti lyhyitä kysymyksiä ja kommentteja. Seuraan presemossa käytävää keskustelua myös luentojen aikana. Luennoilla käytävä keskustelu on tärkeä osa kurssin opiskelua ja presemo tarjoaa siihen anonyymin lisämahdollisuuden.

Kurssin sisällöstä

Luennoilla keskitytään kurssin matemaattisen sisällön ja siihen liittyvien ajatustapojen "avaamiseen".
Tästä syystä luennoilla ei käydä läpi kaikkea kirjassa olevaa eikä noudateta kaikessa kirjan järjestystä.
Kirja on organisoitu kurssimateriaalin "loogisen järjestyksen" mukaan kun taas luennoilla yritetään tukea asioiden oppimista.

On erittäin tärkeää tutustua asioihin oppikirjan pohjalta ennen luentoja. Tällöin luennoilla voidaan paremmin keskittyä niihin asioihin, jotka eniten edellyttävät yhdessä pohtimista.

Opiskelijoiden toivotaan vaikuttavan luentojen sisältöön ja työtapoihin!

Kurssin keskeisenä teemanan ovat erilaiset raja-arvon käsitteet ja niiden täsmällinen määritely ns. "epsilon-delta menenetelmän" avulla. Määritelmässä ja sen käyttämisessä erityisen tärkeää on oppia käyttämään epäyhtälöitä erilaisten lausekkeiden suuruuden arviointiin.

Kurssin aluksi mietitään reaalilukuja ja niiden ominaisuuksia sekä tutustutaan epäyhtälöiden käyttämiseen suuruuden arvioinnissa.

Sitten tutustutaan itseisarvoon ja sen käyttämiseen lukusuoran pisteitten etäisyyden ilmaisemiseen. Erityisen tärkeää on oppia kolmioepäyhtälön käyttö.

Ensimmäisenä raja-arvon käsitteenä kohdataan lukujonon raja-arvo. Lukujonojen raja-arvoja käsitellään kolmessa vaiheessa

• ensin tutustutaan raja-arvon määritelmään ja hyväksytään tai hylätään konkreettisia raja-arvoväitteitä;

• sitten "edetään raja-arvosta raja-arvoon" ja johdetaan raja-arvojen ominaisuuksia kuten raja-arvojen yhteys summaan;

• lopuksi todistetaan raja-arvojen olemassaololauseita. Tässä yhteydessä tulevat esille myös supremumin ja infimumin käsitteet.

Toisena raja-arvon käsitteenä tutustutaan funktioiden raja-arvoihin. Samalla syvennetään funktion käsitettä.

Heti funktion raja-arvon määrittelemisen jälkeen käsitellään funktioiden jatkuvuutta ja derivaattoja esimerkkeinä raja-arvosta. Samalla todistetaan näiden perusominaisuuksia yhdessä funktion raja-arvojen perusominasuuksien kanssa.

Harjoitustehtävät

Tehtävät 1 L

Tehtävät 2 A ja L

Tehtävät 3 A ja L

Tehtävät 4 A ja L

Tehtävät 5 A ja L

Tehtävät 6 A ja L

Tehtävät 7 A

Harjoitustehtävien malliratkaisuja

Ratkaisut 1 L

Ratkaisut 2 A

Ratkaisut 2 L

Ratkaisut 3 A

Ratkaisut 3 L

Ratkaisuja 4A

Ratkaisuja 4L

Ratkaisuja 5A

Ratkaisuja 5L

Ratkaisuja 6A

Ratkaisuja 6L

Ratkaisuja 7A

Harjoitustehtävien tekeminen ja käsittely

Ohjausryhmien aikataulut

• • ==

Ensimmäisellä opetusviikolla on vain ohjaajatuutorointi sekä ohjaus 2 -tapaamiset.

HUOM! TIlamuutoksia tehty ma 5.9.! 

Lisäpisteet

Harjoitustehtävien tekemisestä voi ansaita aktiivisuuspisteitä. Kurssin harjoituksista 1 L - 7 A muodostuu kuusi alkuviikko + loppuviikko -paria. Näistä saa lisäpisteitä seuraavasti:

Alkuviikko:

tehtynä (merkattuna) 2 - 3 tehtävää tuottaa 1 / 3 aktiivisuuspistettä, ja

tehtynä (merkattuna) 4 - 5 tehtävää tuottaa 2 / 3 aktiivisuuspistettä.

Loppuviikko:

Mukana olo ryhmän työskentelyssä tuottaa 1 / 3 aktiivisuuspistettä.

Aktiivisuuspisteitä voi siis ansaita enintään 6.

Palautetta kurssista

Matematiikan ja tilastotieteen laitoksella on käytössä jatkuva palautteen keruu eli voit antaa palautetta missä tahansa kohdassa kurssia. Palautelomakkeeseen pääset täältä.

Ilmoittaudu kurssille

Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!