Ajankohtaista.
Toisen kurssikokeen tulokset alla.
Luennoitsija
Kari Astala
Laajuus
10 op.
Tyyppi
Syventävä opinto
Esitietovaatimukset
Yhden ja useamman muuttujan analyysin perustiedot (kursseista Analyysi I & II, sekä Vektorianalyysi), lineaarialgebran peruskäsitteet (vektoriavaruus ja lineaarikuvaus) sekä metrisen avaruuden perusteet (kurssista Topologia I). Joissakin sovelluksissa ja esimerkkeissä tarvitsemme Lebesguen integraalin perusominaisuuksia, mutta kurssin voi seurata samanaikaisesti Mitta ja integraalin kanssa (silloin omaehtoinen kertaaminen tai asioihin tutustuminen saattaa joskus olla tarpeen).
Luentoajat
Viikot 3-9 ja 11-18 ma 12-14, ke 12-14 D123. Ensimmäinen luento 16.1.2012
Lisäksi kurssiin sisältyy 2 viikkotuntia laskuharjoituksia, jotka pidetään keskiviikkoisin 14-16.
Pääsiäisloma 5.-11.4.
Kokeet
Kaksi kurssikoetta, 3. ja 4. periodin lopussa. Ensimmäinen kurssikoe 1.3. 13-15, sali A111. Toinen kurssikoe 9.5. 13-15, sali A111.
Ensimmäisen kurssikokeen (1.3.2012) tulokset löytyvät tästä ja tehtävät vastauksineen tästä.
Ensimmäisen kurssikokeen tulosten keskiarvo: 15,97 / 24
Toisen kurssikokeen (9.5.2012) tulokset löytyvät tästä ja tehtävät vastauksineen löytyvät tästä
Toisen kurssikokeen tulosten keskiarvo: 14,22 / 24
Sisältö
Funktionaalianalyysin peruskurssi on tärkeimpiä matemaattisen analyysin syventäviä kursseja sekä yleisen että soveltavan matematiikan opiskelijoille. Tutustumme ainakin seuraaviin keskeisiin aiheisiin:
- Banach avaruus (= täydellinen normiavaruus): määritelmä ja perusesimerkit
- täydellisyys ja sen sovellukset (mm. kiintopistelause).
- Hilbert avaruus: perusominaisuudet, ortogonaaliset projektiot, ortonormaalit kannat; optimointi Hilbert avarauuksissa
Failed to execute the [mathinline] macro. Cause: [Parameter [body] is mandatory]. Click on this message for details.
org.xwiki.rendering.macro.parameter.MacroParameterException: Parameter [body] is mandatory
at org.xwiki.rendering.wikimacro.internal.DefaultWikiMacro.validate(DefaultWikiMacro.java:134)
at org.xwiki.rendering.wikimacro.internal.DefaultWikiMacro.execute(DefaultWikiMacro.java:98)
at org.xwiki.rendering.wikimacro.internal.DefaultWikiMacro.execute(DefaultWikiMacro.java:53)
at org.xwiki.rendering.internal.transformation.macro.MacroTransformation.transform(MacroTransformation.java:311)
at org.xwiki.rendering.internal.transformation.DefaultRenderingContext.transformInContext(DefaultRenderingContext.java:183)
at org.xwiki.rendering.internal.transformation.DefaultTransformationManager.performTransformations(DefaultTransformationManager.java:88)
at org.xwiki.display.internal.DocumentContentAsyncExecutor.executeInCurrentExecutionContext(DocumentContentAsyncExecutor.java:395)
at org.xwiki.display.internal.DocumentContentAsyncExecutor.execute(DocumentContentAsyncExecutor.java:268)
at org.xwiki.display.internal.DocumentContentAsyncRenderer.execute(DocumentContentAsyncRenderer.java:112)
at org.xwiki.rendering.async.internal.block.AbstractBlockAsyncRenderer.render(AbstractBlockAsyncRenderer.java:157)
at org.xwiki.rendering.async.internal.block.AbstractBlockAsyncRenderer.render(AbstractBlockAsyncRenderer.java:54)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.syncRender(DefaultAsyncRendererExecutor.java:290)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.render(DefaultAsyncRendererExecutor.java:267)
at org.xwiki.rendering.async.internal.block.DefaultBlockAsyncRendererExecutor.execute(DefaultBlockAsyncRendererExecutor.java:125)
at org.xwiki.display.internal.DocumentContentDisplayer.display(DocumentContentDisplayer.java:67)
at org.xwiki.display.internal.DocumentContentDisplayer.display(DocumentContentDisplayer.java:43)
at org.xwiki.display.internal.DefaultDocumentDisplayer.display(DefaultDocumentDisplayer.java:96)
at org.xwiki.display.internal.DefaultDocumentDisplayer.display(DefaultDocumentDisplayer.java:39)
at org.xwiki.sheet.internal.SheetDocumentDisplayer.display(SheetDocumentDisplayer.java:123)
at org.xwiki.sheet.internal.SheetDocumentDisplayer.display(SheetDocumentDisplayer.java:52)
at org.xwiki.display.internal.ConfiguredDocumentDisplayer.display(ConfiguredDocumentDisplayer.java:68)
at org.xwiki.display.internal.ConfiguredDocumentDisplayer.display(ConfiguredDocumentDisplayer.java:42)
at com.xpn.xwiki.doc.XWikiDocument.display(XWikiDocument.java:1366)
at com.xpn.xwiki.doc.XWikiDocument.getRenderedContent(XWikiDocument.java:1503)
at com.xpn.xwiki.doc.XWikiDocument.displayDocument(XWikiDocument.java:1452)
at com.xpn.xwiki.doc.XWikiDocument.displayDocument(XWikiDocument.java:1421)
at com.xpn.xwiki.api.Document.displayDocument(Document.java:787)
at jdk.internal.reflect.GeneratedMethodAccessor583.invoke(Unknown Source)
at java.base/jdk.internal.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke(DelegatingMethodAccessorImpl.java:43)
at java.base/java.lang.reflect.Method.invoke(Method.java:566)
at org.apache.velocity.util.introspection.UberspectImpl$VelMethodImpl.doInvoke(UberspectImpl.java:571)
at org.apache.velocity.util.introspection.UberspectImpl$VelMethodImpl.invoke(UberspectImpl.java:554)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTMethod.execute(ASTMethod.java:221)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTReference.execute(ASTReference.java:368)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTReference.value(ASTReference.java:704)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTExpression.value(ASTExpression.java:75)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTSetDirective.render(ASTSetDirective.java:242)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTBlock.render(ASTBlock.java:147)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.SimpleNode.render(SimpleNode.java:439)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTIfStatement.render(ASTIfStatement.java:190)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTBlock.render(ASTBlock.java:147)
at org.xwiki.velocity.internal.directive.TryCatchDirective.render(TryCatchDirective.java:86)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTDirective.render(ASTDirective.java:304)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.SimpleNode.render(SimpleNode.java:439)
at org.apache.velocity.Template.merge(Template.java:358)
at org.apache.velocity.Template.merge(Template.java:262)
at org.xwiki.velocity.internal.InternalVelocityEngine.evaluate(InternalVelocityEngine.java:225)
at com.xpn.xwiki.internal.template.VelocityTemplateEvaluator.evaluateContent(VelocityTemplateEvaluator.java:105)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.evaluateContent(TemplateAsyncRenderer.java:219)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.renderVelocity(TemplateAsyncRenderer.java:174)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.render(TemplateAsyncRenderer.java:135)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.render(TemplateAsyncRenderer.java:54)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.lambda$syncRender$0(DefaultAsyncRendererExecutor.java:284)
at com.xpn.xwiki.internal.security.authorization.DefaultAuthorExecutor.call(DefaultAuthorExecutor.java:98)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.syncRender(DefaultAsyncRendererExecutor.java:284)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.render(DefaultAsyncRendererExecutor.java:267)
at org.xwiki.rendering.async.internal.block.DefaultBlockAsyncRendererExecutor.render(DefaultBlockAsyncRendererExecutor.java:154)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.render(InternalTemplateManager.java:904)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderFromSkin(InternalTemplateManager.java:866)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.render(InternalTemplateManager.java:853)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderNoException(InternalTemplateManager.java:808)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderNoException(InternalTemplateManager.java:800)
at com.xpn.xwiki.internal.template.DefaultTemplateManager.renderNoException(DefaultTemplateManager.java:79)
at com.xpn.xwiki.internal.template.DefaultTemplateManager.renderNoException(DefaultTemplateManager.java:73)
at org.xwiki.template.script.TemplateScriptService.render(TemplateScriptService.java:54)
at jdk.internal.reflect.GeneratedMethodAccessor186.invoke(Unknown Source)
at java.base/jdk.internal.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke(DelegatingMethodAccessorImpl.java:43)
at java.base/java.lang.reflect.Method.invoke(Method.java:566)
at org.apache.velocity.util.introspection.UberspectImpl$VelMethodImpl.doInvoke(UberspectImpl.java:571)
at org.apache.velocity.util.introspection.UberspectImpl$VelMethodImpl.invoke(UberspectImpl.java:554)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTMethod.execute(ASTMethod.java:221)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTReference.execute(ASTReference.java:368)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTReference.render(ASTReference.java:492)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTBlock.render(ASTBlock.java:147)
at org.apache.velocity.runtime.directive.VelocimacroProxy.render(VelocimacroProxy.java:218)
at org.apache.velocity.runtime.directive.RuntimeMacro.render(RuntimeMacro.java:331)
at org.apache.velocity.runtime.directive.RuntimeMacro.render(RuntimeMacro.java:261)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTDirective.render(ASTDirective.java:304)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.SimpleNode.render(SimpleNode.java:439)
at org.apache.velocity.Template.merge(Template.java:358)
at org.apache.velocity.Template.merge(Template.java:262)
at org.xwiki.velocity.internal.InternalVelocityEngine.evaluate(InternalVelocityEngine.java:225)
at com.xpn.xwiki.internal.template.VelocityTemplateEvaluator.evaluateContent(VelocityTemplateEvaluator.java:105)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.evaluateContent(TemplateAsyncRenderer.java:219)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.renderVelocity(TemplateAsyncRenderer.java:174)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.render(TemplateAsyncRenderer.java:135)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.render(TemplateAsyncRenderer.java:54)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.lambda$syncRender$0(DefaultAsyncRendererExecutor.java:284)
at com.xpn.xwiki.internal.security.authorization.DefaultAuthorExecutor.call(DefaultAuthorExecutor.java:98)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.syncRender(DefaultAsyncRendererExecutor.java:284)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.render(DefaultAsyncRendererExecutor.java:267)
at org.xwiki.rendering.async.internal.block.DefaultBlockAsyncRendererExecutor.render(DefaultBlockAsyncRendererExecutor.java:154)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.render(InternalTemplateManager.java:904)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderFromSkin(InternalTemplateManager.java:866)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.render(InternalTemplateManager.java:853)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderNoException(InternalTemplateManager.java:808)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderNoException(InternalTemplateManager.java:800)
at com.xpn.xwiki.internal.template.DefaultTemplateManager.renderNoException(DefaultTemplateManager.java:79)
at com.xpn.xwiki.internal.template.DefaultTemplateManager.renderNoException(DefaultTemplateManager.java:73)
at org.xwiki.template.script.TemplateScriptService.render(TemplateScriptService.java:54)
at jdk.internal.reflect.GeneratedMethodAccessor186.invoke(Unknown Source)
at java.base/jdk.internal.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke(DelegatingMethodAccessorImpl.java:43)
at java.base/java.lang.reflect.Method.invoke(Method.java:566)
at org.apache.velocity.util.introspection.UberspectImpl$VelMethodImpl.doInvoke(UberspectImpl.java:571)
at org.apache.velocity.util.introspection.UberspectImpl$VelMethodImpl.invoke(UberspectImpl.java:554)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTMethod.execute(ASTMethod.java:221)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTReference.execute(ASTReference.java:368)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTReference.render(ASTReference.java:492)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTBlock.render(ASTBlock.java:147)
at org.apache.velocity.runtime.directive.VelocimacroProxy.render(VelocimacroProxy.java:218)
at org.apache.velocity.runtime.directive.RuntimeMacro.render(RuntimeMacro.java:331)
at org.apache.velocity.runtime.directive.RuntimeMacro.render(RuntimeMacro.java:261)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTDirective.render(ASTDirective.java:304)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTBlock.render(ASTBlock.java:147)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTIfStatement.render(ASTIfStatement.java:171)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTBlock.render(ASTBlock.java:147)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.SimpleNode.render(SimpleNode.java:439)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.ASTIfStatement.render(ASTIfStatement.java:190)
at org.apache.velocity.runtime.parser.node.SimpleNode.render(SimpleNode.java:439)
at org.apache.velocity.Template.merge(Template.java:358)
at org.apache.velocity.Template.merge(Template.java:262)
at org.xwiki.velocity.internal.InternalVelocityEngine.evaluate(InternalVelocityEngine.java:225)
at com.xpn.xwiki.internal.template.VelocityTemplateEvaluator.evaluateContent(VelocityTemplateEvaluator.java:105)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.evaluateContent(TemplateAsyncRenderer.java:219)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.renderVelocity(TemplateAsyncRenderer.java:174)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.render(TemplateAsyncRenderer.java:135)
at com.xpn.xwiki.internal.template.TemplateAsyncRenderer.render(TemplateAsyncRenderer.java:54)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.lambda$syncRender$0(DefaultAsyncRendererExecutor.java:284)
at com.xpn.xwiki.internal.security.authorization.DefaultAuthorExecutor.call(DefaultAuthorExecutor.java:98)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.syncRender(DefaultAsyncRendererExecutor.java:284)
at org.xwiki.rendering.async.internal.DefaultAsyncRendererExecutor.render(DefaultAsyncRendererExecutor.java:267)
at org.xwiki.rendering.async.internal.block.DefaultBlockAsyncRendererExecutor.render(DefaultBlockAsyncRendererExecutor.java:154)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.render(InternalTemplateManager.java:904)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderFromSkin(InternalTemplateManager.java:866)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.renderFromSkin(InternalTemplateManager.java:846)
at com.xpn.xwiki.internal.template.InternalTemplateManager.render(InternalTemplateManager.java:832)
at com.xpn.xwiki.internal.template.DefaultTemplateManager.render(DefaultTemplateManager.java:91)
at com.xpn.xwiki.internal.template.DefaultTemplateManager.render(DefaultTemplateManager.java:85)
at com.xpn.xwiki.XWiki.evaluateTemplate(XWiki.java:2565)
at com.xpn.xwiki.web.Utils.parseTemplate(Utils.java:180)
at com.xpn.xwiki.web.XWikiAction.execute(XWikiAction.java:651)
at com.xpn.xwiki.web.XWikiAction.execute(XWikiAction.java:339)
at com.xpn.xwiki.web.LegacyActionServlet.service(LegacyActionServlet.java:108)
at javax.servlet.http.HttpServlet.service(HttpServlet.java:764)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:227)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at com.xpn.xwiki.web.ActionFilter.doFilter(ActionFilter.java:122)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at org.xwiki.wysiwyg.filter.ConversionFilter.doFilter(ConversionFilter.java:61)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at org.apache.tomcat.websocket.server.WsFilter.doFilter(WsFilter.java:53)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at org.xwiki.container.servlet.filters.internal.SetHTTPHeaderFilter.doFilter(SetHTTPHeaderFilter.java:63)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at org.xwiki.resource.servlet.RoutingFilter.doFilter(RoutingFilter.java:132)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at org.xwiki.container.servlet.filters.internal.SavedRequestRestorerFilter.doFilter(SavedRequestRestorerFilter.java:208)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at org.xwiki.container.servlet.filters.internal.SetCharacterEncodingFilter.doFilter(SetCharacterEncodingFilter.java:111)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189)
at org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162)
at org.apache.catalina.core.StandardWrapperValve.invoke(StandardWrapperValve.java:197)
at org.apache.catalina.core.StandardContextValve.invoke(StandardContextValve.java:97)
at org.apache.catalina.authenticator.AuthenticatorBase.invoke(AuthenticatorBase.java:541)
at org.apache.catalina.core.StandardHostValve.invoke(StandardHostValve.java:135)
at org.apache.catalina.valves.ErrorReportValve.invoke(ErrorReportValve.java:92)
at org.apache.catalina.valves.AbstractAccessLogValve.invoke(AbstractAccessLogValve.java:687)
at org.apache.catalina.core.StandardEngineValve.invoke(StandardEngineValve.java:78)
at org.apache.catalina.connector.CoyoteAdapter.service(CoyoteAdapter.java:360)
at org.apache.coyote.ajp.AjpProcessor.service(AjpProcessor.java:433)
at org.apache.coyote.AbstractProcessorLight.process(AbstractProcessorLight.java:65)
at org.apache.coyote.AbstractProtocol$ConnectionHandler.process(AbstractProtocol.java:890)
at org.apache.tomcat.util.net.NioEndpoint$SocketProcessor.doRun(NioEndpoint.java:1743)
at org.apache.tomcat.util.net.SocketProcessorBase.run(SocketProcessorBase.java:49)
at org.apache.tomcat.util.threads.ThreadPoolExecutor.runWorker(ThreadPoolExecutor.java:1191)
at org.apache.tomcat.util.threads.ThreadPoolExecutor$Worker.run(ThreadPoolExecutor.java:659)
at org.apache.tomcat.util.threads.TaskThread$WrappingRunnable.run(TaskThread.java:61)
at java.base/java.lang.Thread.run(Thread.java:829) teoria
- jatkuvat lineaariset operaattorit ja niitä koskevat peruslauseet: Neumannin sarja, tasaisen rajoituksen periaate (Banach-Steinhaus), avoimen kuvauksen lause, suljetun kuvaajan lause
- distribuutioderivaatta ja Sobolev avaruus
- Hahn-Banachin laajennuslause ja dualiteetti, refleksiivisyys
Sovelluksina mm. Fourier sarjojen perusteoria ja integraaliyhtälöiden ratkaiseminen.
Kirjallisuus
Kurssi seuraa monistetta Astala-Piiroinen-Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi, jota modifioidaan tarvittavin kohdin.
Linkki luentomonisteeseen: Luentomuistiinpanot 2012.
HUOM: Luentomonisteen sivuilla 101-114 ja sivuilla 179-183 on lisätietoja joita ei käydä läpi luennoilla, eikä niistä tule harjoituksia tai koetehtäviä. Viimeinen 2. kurssikokeeseen tullut asia oli Lause 10.15 (s. 195).
Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat oppikirjat:
- D. Werner, Funktionalanalysis. Springer. (erinomainen yleiskirja, saksankielinen)
- B. Bollobás, Linear Analysis Cambridge Univ. Press, 1999. (ytimekäs yleiskirja)
- W. Rudin, Real and Complex Analysis (3. painos), McGraw-Hill, 1987.
(luvut 3-5, ei kata koko kurssia)
- A. Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover, 1982. (tiivis yleiskirja,
myös mittateoriaa ja reaalianalyysia)
- W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991. (erilainen, laaja yleiskirja)
- J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1990. (yleiskirja)
Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.
Laskuharjoitukset
Harjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:
25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.
Laskuharjoitustehtävät
Keskiviikkoisten harjoitusten tehtävät laitetaan tälle kotisivulle edellisen viikon torstaina.
Ensimmäiset harjoitukset pidetään 25.1.
HUOM: Harjoitukset 11 eivät vaikuta laskuharjoituspisteisiin.
Harjoitus 1 Ratkaisut
Harjoitus 2 Ratkaisut
Harjoitus 3 Ratkaisut
Harjoitus 4 Ratkaisut
Harjoitus 5 Ratkaisut
Harjoitus 6 Ratkaisut
Harjoitus 7 Ratkaisut
Harjoitus 8 Ratkaisut
Harjoitus 9 Ratkaisut
Harjoitus 10 Ratkaisut
Harjoitus 11 Ratkaisut
Harjoitus 12 Ratkaisut
