Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2014

Ajankohtaista: 

Kurssi on päättynyt, kiitos mukanolosta!

2.vk tulokset

Arvosanat

Laskuharjoitustehtävät

1. Harjoitustehtävät

2. Harjoitustehtävät

3. Harjoitustehtävät

4. Harjoitustehtävät

5. Harjoitustehtävät

6. Harjoitustehtävät

7. Harjoitustehtävät

8. Harjoitustehtävät

9. Harjoitustehtävät

10. Harjoitustehtävät

11. Harjoitustehtävät

Mallivastaukset

1. Mallivastaukset

2. Mallivastaukset

3. Mallivastaukset

4. Mallivastaukset

5. Mallivastaukset

6. Mallivastaukset

7. Mallivastaukset

8. Mallivastaukset

9. Mallivastaukset

10. Mallivastaukset

11. Mallivastaukset

Kurssimoniste 

Luennot seuraavat valtaosin allaolevaa v. 2012 kurssimuistiinpanoja, kaikkea emme ehdi käymään läpi ja

toisaalta  muutamassa kohdassa lisäämme jotain kys. muistiinpanoihin.

Kurssimoniste

Luennoitsija 

Eero Saksman
 

Esitietovaatimukset

Yhden ja useamman muuttujan differentiaalilaskenta, lineaarialgebra, metristen avaruuksien alkeet (esim. topologia I)

Mitta- ja integroimisteorian alkeet

(Eräissä esimerkeissä ja sovelluksissa tarvitaan Lebesguen integraalia; mutta kurssia voi seurata rinnan mitta- ja integraaliteorian kurssin kanssa.)

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ti 10-12 ja ke 9-12 C124. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Kokeet

Kaksi kurssikoetta, ensimmäinen kurssikoe on luentosalissa keskiviikkona  12.3 kello 9-12 (tulokset). Koe-alue on luennot luentotaukoon asti, eli

luentomonisteen sivulle 100 asti. TOINEN KURSSIKOE  tiistaina 6.5 kello 9-12 salissa C124.

Kurssikuvaus

Funktionaalianalyysin peruskurssi on yksi tärkeimmistä analyysin laudatur-kursseista sekä yleisen että sovelletun matematiikan opiskelijoille.

Kurssilla tutustutaan Banachin avaruuksien ja Hilbertin avaruuksien (so. täydellisten normi- ja sisätuloavaruuksien) sekä näiden välisten lineaarikuvausten perusominaisuuksiin.

Sisältöä:

Ydinaines:

Normiavaruus, täydellisyys, Banach-avaruus, konkreettiset esimerkit
Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälö
Hilbert-avaruus, ortogonaalinen projektio ja ortonormaalit kannat
Rajoitettu lineaarinen operaattori
Duaaliavaruus
Hahn-Banachin lauseet
Banach-Steinhausin lause
Avoimen kuvauksen ja suljetun kuvaajan lauseet

Täydentävä tietous:

Optimointi Hilbert-avaruudessa
Kompaktisuus ja kompaktit operaattorit
Fourier-sarjojen suppeneminen
Operaattorin adjungaatti
Heikko derivaatta ja Sobolev-avaruus
Weierstrassin approksimaatiolause

Erityistietämys:

Heikko topologia
Projektiot Banach-avaruuksissa ja komplementoidut aliavaruudet
Banach-avaruuksien kannat
Riesz-Fredholmin teoria
Kompaktin itseadjungoidun operaattorin spektraaliesitys

Kirjallisuutta

Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat oppikirjat:

• D. Werner, Funktionalanalysis, Springer Lehrbuch 1990. (erinomainen yleiskirja, saksankielinen)
• B. Bollobás, Linear Analysis, Cambridge Univ. Press, 1999. (ytimekäs yleiskirja)
• W. Rudin, Real and Complex analysis (3. painos), McGraw-Hill, 1987. (luvut 3-5, ei kata koko kurssia)
• W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991. (erilainen, laaja yleiskirja)
• A. Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover 1982. (tiivis yleiskirja, myös mittateoriaa ja reaalianalyysiä)
• J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1990. (yleiskirja)
• I. J. Maddox, Elements of Functional Analysis, Cambridge Univ. Press, 1977

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Lokikirja

Tiistai  14.1: Kurssin kuvailua, kertausta: metrisen avaruuden topologia, suppenevat jonot, separoituvuus. Vektoriavaruuden dimensio.

Keskiviikko 15.1: Normiavaruudet: notmi, topologiaa, esimerkkejä (mm. R^n, C^n, B(A,K), l^\infty,c,c_0), aliavaruudet), normien ekvivalenssi

Tiistai 21.1: l^p-avaruudet, Hölderin, Cauchy-Schwarzin ja  Minkowskin epäyhtälöt jonoille.

Keskiviiko 22.1: Lineaariset operaattorit. Rajoitteneisuuden ja jatkuvuuden yhtäpitävyys. Esimerkki integraalioperaattorista. Banach-avaruudet. Rajoitettujen kuvausten avaruuden B(A,K) täydellisyys.

Tiistai 28.1:Aliavaruuden täydellisyyden ja sulkeutuneisuuden yhteys. Banach-avaruuksien suljettijen aliavaruuksien täydellisyys. Jonoavaruuksien c ja c_0 täydellisyys. Vektoriarvoiset sarjat. Absoluuttisesti summautuvien sarjojen suppenemisen ja avaruuden täydellisyyden ekvivalenssi.

Keskiviikko 29.1.: Avaruuden \ell^p täydellisyys. Mittateorian kertausta.  L^p-integroituvien funktioiden avaruudet L^p vektoriavaruuksina: melkein kaikkialla toisiinsa yhtyvien funktioiden samaistaminen. Hölderin ja  Minkowskin epäyhtälöt funktioille.

Tiistai 11.2.: Avaruuden L^p täydellisyys. L^\infty-avaruudet. Banachin kiintopistelause ja sen sovellus integraaliyhtälön ratkaisemiseen.

Keskiviikko 12.2.: Hermiten muodot. Sisätuloavaruudet,  Cauchy-Schwarzin epäyhtälö, sisätuloavaruudet normiavaruuksina.  Hilbert-avaruudet. Esimerkkejä. Vektorien välinen kulma. Pythagoraan lause. Suunnikasyhtälö.

Perjantai 14.2: Peruslause etäisyyden saavuttamisesta suljettuun ja konveksiin joukkoon. Lähimmän pisteen karakterisointi kulman avulla.

Tiistai 18.2:  Joukon ortogonaalinen komplementti. Ortoprojektiot suljetulle aliavaruudelle. Avaruuden jako alivaruuteen ja ortogonaalisen komplementtiin.  Ortonormaalit jonot.  Besselin epäyhtälö.

Keskiviikko 19.2: Riesz-Fisherin lause. Ortonormalit (ON-) kannat. Viisi ekvivalenttia ehtoa kantaominaisuudelle. ON-kannan olemassaolo mielivaltaiselle separoituvalle  Hilbert-avaruudelle. Jonoavaruuden l_2 ON-kanta. Haarin kanta avarudelle L^2(0,1).

Tiistai 25.2: Fourier-sarjan määritelmä. Osasummien esitys Dirichletin ytimen avulla. Fejer-summat ja ytimet. Diriclet- ja Fejer-ytimien lausekkeet ja perusominaisuudet. Jatkuvan funktion Fejer-osasumman  tasainen suppeneminen.

Keskiviikko 26.2: Jatkuvien funktioiden tiheys avaruudessa L^2(0,2\pi), eksponentiaalit ovat ON-kanta avaruudelle L^2(0,2\pi), Fourier-sarjan L^2-suppeneminen, pisteittäinen kovergenssi Lipschitz-jatkuville funktioille.

Tiistai 18.3: Operaattoreiden kertausta. Operaattorinormi. Operaattorien avaruuden täydellisyys.

Keskiviikko 19.3: Käänteiskuvauksen jatkuvuus, alhaalta rajoittuneisuus. Banach-avaruuksien isomorfisuus. Esimerkkejä. Operaattorin laajentaminen sulkeumaan.

Perjantai 20.3 Neumannin sarja, kääntyvät operaattorit Bairen kategorialause

Tiistai 25.3: Tasaisen rajoituksen periaate. Sovelluksia. Jatkuva funktio, jonka Fourier-sarja ei suppene.

Keskiviikko 26.3:  Avoimen kuvauksen lause. Sovelluksia.

Tiistai 1.4: Suljetun kuvaajan lause. Sovelluksia.

Keskiviikko 2.4: (topologinen) duaaliavaruus. Duaali-avaruus Banach-avaruutena. Avaruuden $\ell^p$ duaaliavaruus. Muita esimerkkejä. Frechet-Rieszin lause.

Tiistai 8.4: Hahn-Banachin lause reaalisessa tapauksessa.

Keskiviikko 9.4: Hahn-Banachin lause kompleksisessa tapauksessa. Sovelluksia. Prekompaktit ja relatiivisesti kompaktit osajoukot. Esimrkkejä. Arzela-Ascolin lause (alkua).

Perjantai 11.4: Arcela-Ascolin lauseen toinen suunta. Kompaktit operaattorit, niiden peruominaisuuksia. Integraalioperaattorin kompaktisuus.

Keskiviikko 16.4: Ääärellisulotteisten avaruuksien spektraaliteorian kertausta. Hilbert-avaruuden operaattorin adjungaatti. Adjungaattien perusominaisuuksia. Itseadjungoidut operaattorit. Itseadjungoidun operaattorin ja vastaavan neliömuodon normien yhtäsuuruus.

Perjantai 24.4: Kompaktilla itseadjungoidulla operaattorilla aina ominaiarvo, jonka itseisarvo on operaattorin normi. Spektraalilauseen todistus.

Tiistai 29.4: (viim. luento) Spektraaliesityksen todistuksen loppuosa. Sovelluksia integraaliyhtälöihin. Funktionaalianalyysin syventävien teemojen esittelyä.