Johdatus Fourier-analyysiin, kevät 2010

Luennoitsija

Petri Ola

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset ja sisältö

Mitta ja integraali, sekä reaalianalyysin kurssista L^p-avaruuksien perusteet. Funktionaalianalyysin kurssin tuntemus on myös suositeltavaa, erityisesti Hilbert-avaruuksien perusminaisuudet, Avoimen kuvauksen lause sekä Tasaisen rajoituksen periaate. 

Kurssin aluksi käymme läpi Fourier-sarjojen määrittelyn ja konvergenssin: aluksi L^2:ssa , ja sen jälkeen syvennymme pisteittäiseen konvergenssiin käyttäen Dini-ja Fejer-ytimiä. Fourier sarjojen jälkeen siirrymme Fourier-muunnokseen, taas aluksi L^2:ssa, ja sen jälkeen muissa L^p-avaruuksissa. Tämä johdattaa meidät luontevasti tutkimaan distribuutioita ja niiden Fourier-muunnoksia. Mahdollisuuksien mukaan käsittelemme esimerkkejä muilta matematiikan aloilta. Fourier- sarjojen avulla voimme ratkoa aalto- ja lämpöyhtälöiden alkuarvo-ongelmia. Fourier-muunosta voimme puolestaan käyttää apuna kun tutkimme erilaisia integraali-ja differentiaalioperaattoreita. Tyypillsiä esimerkkejä ovat Hilbert-muunnos, sekä vakiokertoimisten differentiaalioperaattoreiden perusratkaisujen määrääminen. Mikäli aikaa on, perehdymme myös diskreettiin Fourier-muunnokseen.

Luentoajat

PIII ja PIV ma 12-14 ja to 14-16, D123

Pääsiäisloma 1.-7.4.10

Kokeet

Sovitaan luentojen alussa.

Kirjallisuus

Seuraavia kirjoja voi soveltuvin osin käyttää kurssin tukena (täydennän listaa kurssin alettua)

- Rudin: Functional Analysis

- Rudin: Real and Complex Analysis

- Stein-Shakarchi: Fourier Analysis, An Introduction

- Stein-Weiss: Introduction to Fourier-analysis on Euclidean spaces

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset - Huom! laskarit palautetaan kirjallisesti suoraan Esalle viimeistään seuraavan viikon tiistaina klo 12 mennessä.

1. harjoitukset  Ratkaisut

2. harjoitukset  Ratkaisut

3. harjoitukset  Ratkaisut

4. harjoitukset  Ratkaisut

5. harjoitukset  Ratkaisut

6. harjoitukset  Ratkaisut

7. harjoitukset  Ratkaisut

8. harjoitukset  Ratkaisut

9. harjoitukset  Ratkaisut

Laskuharjoitukset palautetaan jatkossa suoraan Esalle kirjallisesti, ja ne arvostellaan ja palautetaan. Esalta voi saadaa lisäselvitystä sopimalla tapaamisen erikseen. Varsinainen harjoitustilaisuus on peruttu. Harjoituksissa no.9 on palautusaikaa tiistaihin 11.5 asti. Tulossa on vielä yhdet tehtävät.