Todennäköisyyslaskenta, syksy 2012

Luennoitsija

Petri Koistinen

Laajuus

10 op.

Ajankohtaista

Kurssilla on moodle-sivu, jonne ilmestyy laskuharjoitusten malliratkaisut ja jonka avulla voit esim. pyytää vinkkejä laskuharjoitustehtävistä.

Toisen kurssikokeen tulokset löytyvät ilmoitustaululta. Kokeen tulokset ja malliratkaisut löytyvät moodlesta.

Viimeiset luennot ja harjoitukset pidetään viikolla 49 eli 3. - 7.12.

Asema opetuksessa

Aineopintoja.

Tilastotieteen pääaineopiskelijoille pakollinen aineopintojen kurssi. Pakollinen niille sivuaineopiskelijoille, jotka aikovat suorittaa tilastotieteen aineopinnot. Taloustieteen pääaineopiskelijoille tilastotieteen sivuaineopintojen pakollinen kurssi. Pakollinen kurssi vakuutus- ja finanssimatematiikan linjalla matematiikan koulutusohjelmassa.

Esitietovaatimukset

Esitietoina tarvitaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta (esim. kurssi Johdatus todennäköisyyslaskentaan). Lisäksi tarvitaan perusvalmiudet yhden ja useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennasta sekä perustiedot vektorien ja matriisien laskutoimituksista.

Luentoajat

3.9. - 15.10. ja 29.10. - 10.12. ma 9-12, ke 12-14 CK112, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia

Kokeet

• 1. kurssikoe 19.10. 13-15 Exactumin auditorioissa
• 2. kurssikoe 17.12. 13-15 Exactumin auditorioissa

Jos suoritat kurssin kurssikokeilla, niin voit saada laskuharjoitustehtävien ratkaisuista lisäpisteitä koepisteiden lisäksi. Lisäpisteitä saadaksesi sinun pitää osallistua laskuharjoitustilaisuuteen. Jotta saisit suoritettua kurssin kurssikokeilla, sinun pitää saada kummastakin kurssikokeesta vähintään kolme pistettä. Lisäksi kurssikokeiden (a 24 pistettä) pisteiden sekä lisäpisteiden summan pitää yhteen laskettuna olla vähintään 22.

Laskuharjoituksista saa lisäpisteitä seuraavasti:

20 % - 1 p; 30 % - 2 p; 40 % - 3 p, 50 % - 4 p; 60 % - 5 p; 70 % - 6 p; 80 % - 7 p.

Ohjeita erilliskokeita varten (v. 2013)

• Koealue on yhdiste ensimmäisen ja toisen kurssikokeen koealueista (ts. koko moniste poisluettuna tietyt asiat sekä kaikki laskuharjoitustehtävät).
• Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, laskin, kirjoitusvälineet. (Lunttilappua ei sallita erilliskokeissa.)
• Kokeessa on viisi laskutehtävää.
• Laskuharjoituspisteitä ei oteta huomioon.

Ohjeita toista kurssikoetta 17.12. varten

• Koealue: monisteen luvut 6-11 lukuunottamatta tiettyjä jaksoja jotka listataan alla. Luvusta 11 voidaan kysyä suurten lukujen lain muotoilua, keskeisen raja-arvolauseen muotoilua tai deltamenetelmää. Harjoitukset 6-10.
• Seuraavat monisteen asiat eivät kuulu koealueeseen: Jakso 6.5; kaava (9.16) jaksossa 9.6; moniulotteisen jakauman (yhteis-)momenttien laskeminen momenttiemäfunktion avulla (asia selostetaan jaksossa 9.7); jakso 10.5; jakso 11.6.
• Kokeessa saa käyttää laskinta ja MAOL:in taulukkoja, ja sinne saa tuoda itse laaditun, A4-kokoisen käsinkirjoitetun lunttilapun.
• Opettele seuraavat jakaumat
   o Tasajakauma tasoalueessa (tf)
   o Trinomijakauma (ptnf ja toistokoemääritelmä)
   o Moniulotteinen normaalijakauma (määrittely kaavalla X = mu + A U, jossa U:lla moniulotteinen standardinormaalijakauma ja mu ja A ovat vakiovektori ja vakiomatriisi).
   Myös muita moniulotteisia jakaumia saattaa tehtävissä esiintyä, mutta silloin ne karakterisoidaan tehtävänannossa.
• Seuraavat aiheet ovat esiintyneet usein toisessa kurssikokeessa
   o kaksiulotteisen jakauman ominaisuuksien selvittäminen, kun sen tiheysfunktio (ptnf) annetaan (ehkä vakiota vaille)
   o tiheysfunktion muuntokaava (jacobiaani)
   o yhteisjakauman käsittely kertolaskukaavan avulla
   o ehdollistaminen (esim. odotusarvon laskeminen iteroituna odotusarvona)
   o odotusarvon laskukaavat satunnaisvektorille ja -matriisille
   o kovarianssin laskeminen satunnaisvektorin affiinille muunnokselle.
   o moniulotteinen normaalijakauma
• Tee laskuissa järkevyystarkistuksia
• Jos törmäät laskussa hankalaan kohtaan ja joudut aikapulaan, niin selosta koepaperissa, millä strategialla olet laskua laskemassa. Hyvästä strategiasta voi saada suuren osan jaossa olevista pisteistä.

Ohjeita ensimmäistä kurssikoetta varten

• Varsinainen koe on pe 19.10. klo 13-15 (jossakin auditorioista) ja sen korvaava koe ma 22.10. klo 14-16 (salissa B120).
• Ensimmäisessä kurssikokeessa sallitut apuvälineet ovat 1) laskin sekä 2) lunttilappu. (MAOL-taulukoita ei sallita.) Lunttilapun pitää olla itse laadittu ja käsinkirijoitettu, eikä sillä ole muita rajoituksia kuin sen koko: yksi A4-kokoinen arkki.
• Koealue: monisteen luvut 1-5. Harjoitukset 1-5.
• Kokeessa ei kysytä ainakaan seuraavia asioita
  • Jakson 2.8 loppu (alaotsikosta Täydentäviä huomautuksia lähtien): kf:n yleistetty käänteisfunktio; jakauman kvantiilin määrittely yleisessä tapauksessa. Siihen kohtaan asti jakso 2.8 sisältö on kurssin keskeistä sisältöä.
  • Lause 2.13 jaksossa 2.9
  • Jakso 4.8 (karakteristinen funktio).
  • Jakso 5.1.4: negatiivisen binomijakauman ominaisuuksien selvittäminen binomisarjan avulla.
  • Jakso 5.2: beetafunktion esittäminen gammafunktion avulla.
• Opettele seuraavat jakaumat niin, että osaat kirjoittaa niiden ptnf:n tai tf:n ja osaat johtaa sujuvasti niiden ominaisuuksia (kuten odotusarvon ja varianssin). Tilastotieteen kirjallisuudessa käytetään näitä jakaumia niin usein, että ne pitää oppia vähintäänkin tunnistamaan tämän kurssin jälkeen.
  • Bernoullin jakauma ja binomijakauma.
  • Poissonin jakauma
  • välin (a,b) tasajakauma
  • eksponenttijakauma
  • normaalijakauma
     Myös muita jakaumia saattaa tehtävissä esiintyä, mutta silloin ne karakterisoidaan tehtävänannossa.
• Tee laskuissa järkevyystarkistuksia:
  • onko laskemani tn p välillä 0 <= p <= 1?
  • onko laskemani varianssi varmasti >= 0?
  • onko laskemani ei-negatiivisen satunnaismuuttujan odotusarvo varmasti >= 0?
  • onko laskemallani kertymäfunktiolla kertymäfunktion ominaisuudet?
  • onko johtamani tiheysfunktio varmasti >= 0?
• Jos törmäät laskussa hankalaan kohtaan ja joudut aikapulaan, niin selosta koepaperissa, millä strategialla olet laskua laskemassa. Hyvästä strategiasta voi saada suuren osan jaossa olevista pisteistä.

Tavoitteet ja sisältö

Kurssilla opetellaan sellaisia todennäköisyyslaskennan käsitteitä ja tekniikoita, joita jokainen tilastotieteilijä tai muu todennäköisyyslaskennan soveltaja tarvitsee. Tällä kurssilla tavoitteena on oppia laskemaan todennäköisyyden käsitteiden avulla. (Todennäköisyyden matemaattisia perusteita käsitellään esim. Todennäköisyysteorian kurssilla).

Kurssin keskeistä sisältöä on mm.

• todennäköisyys ja ehdollinen todennäköisyys, sekä näiden perusominaisuudet
• satunnaismuuttuja sekä sen jakauma
• satunnaismuuttujan ja sen muunnoksen odotusarvo
• yksiulotteisten jakaumien kvantiilit sekä niiden tavanomaiset tunnusluvut (esim. odotusarvo ja varianssi)
• tietyt sovelluksissa usein esiintyvät yksiulotteiset jakaumat
• diskreetin jakauman käsittely pistetodennäköisyysfunktion avulla (sekä yksi- että moniulotteisessa tapauksissa)
• jatkuvan jakauman käsittely tiheysfunktion avulla (sekä yksi- että moniulotteisessa tapauksissa)
• muuttujanvaihtokaava tiheysfunktiolle (sekä yksi- että moniulotteisessa tapauksessa)
• moniulotteisen jakauman odotusarvo sekä kovarianssimatriisi
• ehdollinen jakauma sekä ehdollinen odotusarvo
• moniulotteinen normaalijakauma eli multinormaalijakauma
• suurten lukujen laki, keskeinen raja-arvolause sekä eräät näihin tuloksiin perustuvat approksimaatiot

Päiväkirja

• viikko 36 (3.-9.9.): johdantoa sekä jaksot 1.1 - 1.5; R-esimerkki nopanheiton simuloinnista R-ohjelmistolla.
• viikko 37: jaksot 1.6 - 2.4; R-esimerkki ehdollisen todennäköisyyden arvioinnista simuloiduissa nopanheitoissa.
• viikko 38: Ma jaksot 2.5 - 2.7; R-esimerkki tiheysfunktion arvon estimoinnista frekvenssitulkinnan avulla, R-esimerkki diskreetin satunnaismuuttujan muunnoksesta. Ke jaksot 2.8 ja 2.9 (esimerkistä 2.7 lähtien jaksoa 2.9 ei käsitellä eteenpäin); R-esimerkki kertymäfunktiomuunnoksesta, R-esimerkki eksponenttijakauman simuloinnista käänteisfunktiomenetelmällä.
• viikko 39: Luku 3. Jaksoa 4.1 lauseeseen 4.1 asti; R-esimerkki odotusarvon frekvenssitulkinnasta.
• viikko 40: Luku 4 loppuun. Jaksoa 4.8 ei käydä läpi.
• viikko 41: Luku 5.
• viikko 42: Ma kertausta; ke ei luentoa; ei laskuharjoituksia; pe kurssikoe.
• viikko 44: Ma luku 6 (epäyhtälöitä). Ke jakso 7.1 ja jaksosta 7.2 tasajakauman määritelmä.
• viikko 45: Jakson 7.2 esimerkki ja jaksot 7.3 - 7.5. Ke jaksot 7.6 ja 7.7. R-esimerkki: paras lineaarinen ennuste verrattuna regressiofunktioon.
• viikko 46: Jaksot 7.8 ja 7.9, sekä jaksot 8.1-8.3.
• viikko 47: Jaksot 8.4 - 8.5 ja 9.1 - 9.2.
• viikko 48: Jaksot 9.3, 9.4, jaksosta 9.5 vain periaatteet, jakso 9.6, jakso 9.7 osittain (yhteismomenttien laskeminen momenttiemäfunktion avulla sivuutetaan), jaksot 10.1 - 10.4, (10.5 sivuutetaan); jaksosta 10.6 todistettiin lause 10.4. R-esimerkki kaksiulotteisen normaalijakauman simuloinnista suoraan määritelmän 10.2 avulla.
• viikko 49 Luku 10 loppuun. Luku 11 pintapuolisesti (jaksoa 11.6 ei käsitelty eikä luvun esimerkkejä). Kertausta koetta silmälläpitäen.

Kirjallisuus

Opetusmoniste

• Osa 1 (luvut 1-5) PDF, päivitetty 10.10.2012. Tärkeimpiä korjauksia: jakson 2.8 ensimmäinen virke; selvennys jaksossa 4.5; jaksossa 5.1.2 merkintöjen korjaus; jaksossa 5.1.5 ptnf:n perustelu korjattu.
• Kalvot luvusta 1, 2, 3, 4, 5.
• Osa 2 (luvut 6-11), päivitetty 27.5.2013 PDF. Tärkeimpiä korjauksia alkuperäiseen verrattuna: Jaksossa 6.2 kaavan (6.3) alapuolella olevan kaava ehto korjattu; Jakson 7.3 johdantokappale kirjoitettu uudella tavalla; S. 87 viimeinen kaava korjattu; Jaksossa 7.4 lisätty sanallista selitystä ennen esimerkkejä; Jaksossa 7.9 korjattu virhe t-jakauman kertaluvun a absoluuttisen momentin laskemisesta; Jakson 10.6 esimerkissä 10.2 vektorin Z esitys vektoreiden X ja Y avulla on korjattu. Jaksossa 10.7 lauseen 10.6 todistuksen viimeinen kaava on korjattu (27.5.2013).
• Kalvot luvusta 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Linkkejä

• Wikipedia: Lista todennäköisyysjakaumista (engl.)
• Wikipedia: Korrelaatiokerroin (engl.) ; ks. esimerkkejä jakaumista, joilla on annettu korrelaatiokerroin.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset

Laskuharjoitustehtävistä voi keskustella mm. kurssin moodle-sivulla. Tehtävien malliratkaisut ilmestyvät kurssin moodle-sivulle.

• 1. harjoitus 12. - 14.9.
• 2. harjoitus 19. - 21.9.
• 3. harjoitus 26. - 28.9.
• 4. harjoitus 3. - 5.10.
• 5. harjoitus 10. - 12.10.
• 6. harjoitus 7. - 9.11.
• 7. harjoitus 14. - 16.11.
• 8. harjoitus 21.-23.11.
• 9. harjoitus 28.-30.11.
• 10. harjoitus 5.-7.12. (viimeinen)