Reaaliluvut, kevät 2013
Reaaliluvut, kevät 2013
Luennoitsija
e-mail: aleksandr.pasharin@helsinki.fi
Työhuone B411
Laajuus
5 op
Tyyppi
Aineopintoja. Yhden perioidin lyhytkurssi, sijoittuu perioidiin 4.
Kuvaus
Vaikka koulussa (ja lukiossa) ei reaalilukuja varsinaisesti määritellä formaalisti, jokaiselle koulun käyneelle on muodostunut osittain intuitiivisesti selkeä ja rikas käsitys reaaliluvuista. Reaaliluvut vastaavat lukusuoran pisteitä. Toisaalta reaaliluku on sama asia kuin desimaaliluku, eli mahdollisesti päättymätön jono - 3, 14156...
Reaalilukuja voidaan laskea yhteen tai kertoa keskenään, suuruusjärjestyksen avulla niitä voidaan vertailla, positiivisista reaaliluvuista voidaan ottaa neliöjuuret ja niin edelleen. Nämä ja monet muut tutut reaalilukujen ominaisuudet tekevät reaaliluvuista erittäin tuttuja ja turvallisia otuksia.
Reaalilukuihin tutustaan vaiheittaan: aloitetaan luonnollisista luvuista, lisätään joukkoon negatiiviset kokonaisluvut, sitten murtoluvut ja lopuksi irrationaaliluvut. Viimeksi mainittujen olemassaoloa ei koulussa varsinaisesti perustella ja monet siihen liittyvät ongelmat lakaistaan maton alle. Oikeastaan irrationaalilukuihin turvaudutaan vain silloin, kun on pakko, eli esimerkiksi polynomiyhtälöjen ratkaisemisen yhteydessä (juuret) tai puhuttaessa sellaisista vakioista kuin luku 'pi' tai Neperin luku e.
Sen sijaan yliopistomatematiikassa opiskelijan eteen putoaa heti kättelyssä täysin erinäköinen formaali määritelmä reaaliluvuille. Reaalilukujen joukko onkin 'täydellinen järjestetty kunta', tietynlaisen aksioomaluettelon määräämä olento. Kaikki aksioomat ovat kuitenkin tuttuja reaalilukujen ominaisuuksia, lukuun ottamatta 'täydellisyysaksioomaa', jonka sisältämä väite on täysin uusi ja outo.
Tällainen uusi määritelmä herättää paljon kysymyksiä, joista ehkä suurimmat ovat seuraavat:
1) Mitä tekemistä tällä aksioomaluettelon määräämällä otuksella on koulusta tutun reaalilukujoukon kanssa?
2) Reaalilukujen aksioomat kattavat vain muutamia reaalilukujen tutuista ominaisuuksista. Missä muut ovat? Erityisesti missä ovat luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja murtoluvut? Niitä ei aksioomissa mainita kertaakaan, lukuunottamatta lukuja 0 ja 1, joille löytyy hyvin vieraita määritelmiä 'neutraalialkioina'.
3) Mistä tiedämme, että reaalilukujen aksioomilla määritelty otus on oikeasti olemassa? Mikä ylipäätään antaa meille aiheen ajatella, että voimme määritellä asioita vain luettelemalla niiden ominaisuuksia?
4) Mistä tiedämme, että tällaisilla ominaisuuksilla varustettuja otuksia on vain yksi? (Ainakin intuitiivisesti tuntuu selvältä, että on olemassa vain yksi reaalilukujen joukko.)
Tällä kurssilla pyritään vastamaan ainakin joihinkin näistä kysymyksistä matemaattisen tarkasti ja pääpaino kurssilla on reaalilukujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyysongelmassa. Konstruoimme otuksen, jolla on kaikki reaalilukujen määritelmässä mainitut ominaisuudet sekä näytämme, että tällainen otus on olennaisesti yksikäsitteinen. Samalla näemme, miksi tällä otuksella on muitakin tuttuja reaalilukujen ominaisuuksia. Näytämme muun muassa, miten aksiomaattisesti määritellyn reaalilukujoukon sisältä löydetään sellaisia tuttuja reaalilukujen osajoukkoja kuten luonnollisten lukujen joukko, kokonaislukujen joukko ja rationaalilukujen joukko, ja miksi jokainen reaaliluku on desimaaliluku.
Jos aikaa jää, niin käsittelemme lisäksi eksponentti-ja trigonometristen funktioiden tarkan konstruktion, kompleksiluvut, p-adiset luvut ja epästandardianalyysin alkeet.
Kurssi suoritetaan aktiivisella osallistumisella (50% läsnäolopakko luennolla), laskuharjoituksilla ja esitelmällä. Tarvittaessa läsnäolopakko voi korvata ylimääräisillä tehtävillä. Varsinaista kurssikoetta ei ole.
Esitietovaatimukset
Kurssi pyrkkii olemaan itseriittoinen, mutta tottumusta joukkojen pyörittelystä eli 'naiivista joukko-opista' pitää olla.
Luentoajat
Viikot 11-18 ma 12-14, C124 ti 14-16 C123. Myös laskuharjoitukset 2h viikossa to 14-16 C123.
HUOM! SEKÄ LUENTOJEN ETTÄ LASKARITILAISUUDEN SALIT MUUTTUNEET!
Harjotusten ratkaisuja kerätään laskaritilaisuudessa. Niitä ei kuitenkaan arvostella ja laskareista saa pisteitä samalla periaatteella kuin muillakin kursseilla eli rehellinen yritys riittää.
HUOM! Laskuharjoitukset alkavat heti kurssin ensimmäisellä viikolla.
Ensimmäinen laskuharjoitustilaisuus siis to 14.3
Pääsiäisloma 28.3.-3.4.
Alustava aikataulu
- Johdanto:
i) Reaaliluvut koulussa
ii) Reaalilukujen aksioomat. - Joukko-oppi:
i) Kertausta 'naiivista' joukko-opista
ii) Lyhyt katsaus aksiomattiseen joukko-oppiin - Luonnolliset luvut:
i) Hyvinjärjestetyt joukot
ii) Luonnollisten lukujen ominaisuuksia - Rationaaliluvut:
i) Kokonaisluvut
ii) Rationaaliluvut - Reaalilukujen konstruktio:
i) Dedekindin leikkaukset
ii) Cauchy jonot - Reaalilukujen ominaisuuksia
- Yleistyksiä - kompleksiluvut jne.
Luentomateriaali
(huomautus - kaikki osat päivitetty viimeksi 23.4)
(osa 3 ei ole pakollista luettavaa, joten löytyy alla lisämateriaali-sektiosta)
Lisämateriaalia
Perus joukko-oppia voi kerrata myös seuraavista lähteistä:
Lotta Oinonen - Johdatus yliopistomatematiikkaan osa 1
Lotta Oinonen - Johdatus yliopistomatematiikkaan osa 2
Heikki Junnila - Johdatus diskrettiin matematiikkaan
Katsaus aksioomaattiseen joukko-oppiin - käyty läpi luennolla pintapuolisesti, ylimääräistä yleissivistävää tietoa:
Luentopäiväkirja:
11.03 - Johdatteleva keskustelu reaaliluvuista. Reaalilukujen aksioomat - määritelmä ja muutama kommentti. Laskutoimitukset, vaihdannaisuus ja liitännäisyys.
12.03 - Nolla-alkio, ykkösalkio, vasta-luku ja käänteisluku. Järjestys ja sen ominaisuuksia.
18.03 - Täydellisyysaksiooma. Esimerkki: neliöjuuren 2 olemassaolo. Joukko - oppi - joukko, alkio, kuuluvuusrelaatio, osajoukot, joukkojenyhtäsuuruus. Potenssijoukko. Yhdiste, leikkaus ja erotus, myös mielivaltaiselle joukko-perheelle. Järjestetyn parin määritelmä.
19.03 - Karteesinen tulo, relaatiot, kuvaukset. Indeksoidut joukkoperheet. Injektio, surjektio, bijektio. Mahtavuus - määritelmiä ja perusominaisuuksia.Viimeisenä asiana Lemma 37.
25.03 - Äärellisyys ja äärettömyys. Cantorin Lause. Katsaus aksiomaattiseen joukko-oppiin, Russelin paradoksi, ristiriidat, äärettömyysaksiooma, valinta-aksiooma.
26.03 - Osittaisjärjestetyt ja täysin järjestetyt joukot. Morfismit ja isomorfismit. Hyvinjärjestetyt joukot ja luonnolliset luvut - molemmat määritelmän tasolla. Viimeinen luennoilla tarkasteltu aihe - välittömän seuraajan olemassolo hyvinjärjestyssä joukossa (s. 74)
08.04 - Induktio-periaate hyvinjärjestetyille joukoille, Hyvinjärjestys Lause. Hyvinjärjestettyjen joukkojen vertailu keskenään (Lause 65).
09.04 - Luonnolliset luvut - olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Numeroituvuus, ylinumeroituvuus ja äärellisyys. Luonnollisten lukujen induktio, yhteenlasku ja kertolasku luonnollisten lukujen joukossa. Laskutoimitusten ominaisuudet.
15.04 - Ekvivalenssirelaatiot. Kokonaisluvut - konstruktio, laskutoimitukset, järjestys ja niiden ominaisuudet. Jaollisuusteoria (pintapuoleisesti lisätietona, ilman todistuksia). Seurauksena karteesisen tulon NxN numeroituvuus.
16.04 - Kokonaisluvut reaalilukujen osajoukkona. Rationaaliluvut - konstruktio, struktuuri ja ominaisuudet.
22.04 - Arkhimideen ehto. Rationaalilukujen kanoninen upotus reaalilukuihin. Rationaalilivut ovat tiheässä R:ssä. Dedekindin leikkaukset. Reaalilukujen järjestysrelaatio. Reaalilukujen yhteenlasku (jäi kesken).
23.04 - Reaalilukujen konstruktio jatkuu - vasta-alkion olemassaolo, kertolasku, kertolaskun ominaisuudet, reaalilukujen olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Aliluku " Dedekindin leikkaukset " käyty läpi loppuun asti.
29.04 - Cauchyn jonot, täydellisyys Cauchyn mielessä, jonojen raja-arvot. Reaalilukujen konstruktio Cauchyn jonojen avulla. Analyysin alkeita - jonojen suppenemista R:ssä, desimaaliesitykset, R:n mahtavuus
30.4 - Raja-arvot ja jatkuvuus. Bolzanon lause. Juuret, eksponenttifunktioit, logaritmit, neperin luku, trigonometriset funktiot. Katsaus muihin lukusysteemiin - kompleksiluvut, hyperreaaliluvut, p-adiset luvut.
Laskuharjoitukset
Ratkaisuehdotuksia
Esitelmäaiheita
Alla lista mahdollisista esitelmäaiheista (sekä alustavia ohjeita). Listä täydentyy kurssin aikana. Omia aiheita saa ehdottaa. Esitelmäaiheesta sovitaan luennoitsijan kanssa. Materiaalia ja vihjeita saa luennoitsijalta.
HUOM! Lista päivtetty 16.4, muutama uusi aihe lisätty!
KURSSIN LUENNOT PÄÄTTYNEET. Jos olet vielä vailla esitelmäaihetta tai tarvitset muuten apua, ota yhteyttä luennoitsijaan (mielummin sähköpostitse)
(päivitetty 16.4)
Kirjallisuus
Ilmoittaudu
Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.