Opettajalinjan työpaja (Topologia I), syksy 2012

Luennoitsijalle voi lähettää nimetöntä pikapalautetta.

Ajankohtaista

Viime viikon moniste kompaktisuudesta. Tämä moniste vastaa hyvin pitkälti kirjan luvun 13 alkupuolta.

Lisätty ensimmäisen luentoprujun versio, jossa on viitteitä kirjan lauseisiin. Tässä.

Laskuharjoitusten 11 tehtävässä 6 oli virhe! Pitäisi olla "min{d(x,y),1}" eikä "max{d(x,y),1}".

Vinkkejä pitkiin tehtäviin on ilmestynyt.

Harjoitukset 9 ovat kotisivulla, kuten myös malliratkaisut tehtäviin 8. Täydennettävää prujua on päivitetty, mukana nyt myös jonohommat.

Oma sivu esitelmien aikatauluista ilmestynyt.

Harjoitustehtävät 8 ovat ilmestyneet.

Kakkosperiodin alun moniste on nyt netissä. Käytiin läpi määritelmät 1-5, huomautus 6 sekä esimerkit 7-9. Torstaina
 käsitellään lauseita 10-14, yrittäkää todistaa väitteet ennen torstaita, voidaan sitten torstaina keskittyä hankaliin kohtiin.

Ykkösperiodin aikaiset ilmoitusasiat on siivottu pois tieltä omalle sivulleen vanhat ilmoitusasiat.

Luennoitsija

Rami Luisto

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Aineopintoja

Kurssi on suunnattu erityisesti opettajalinjalla opiskeleville.

Esitietovaatimukset

Analyysi I on suositeltava, erityisesti jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteet tulisi hallita kyseisen kurssin laajuudessa.
 Tottumusta matemaattiseen todistamiseen (esimerkiksi kurssin Analyysi I antamassa laajuudessa) tarvitaan myös.
 Kurssin Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I & II sisällöstä tarvitaan lähinnä normin ja sisätulon määritelmät. Joitain
 edistyneempiä käsitteitä saatetaan käyttää esimerkeissä.

Käymme kurssin alussa läpi joukko-opin perusteet
 (mm. joukko, potenssijoukko, leikkaus, yhdiste, komplementti, kuva ja alkukuva) mutta joukko-opin alkeiden olisi hyvä
 olla hallussa jo etukäteen esimerkiksi kurssin johdatus matematiikkaan tai johdatus diskreettiin matematiikkaan laajuudessa.
 Mikäli näin ei ole, kannattaa palauttaa käsitteitä mieleen ja tehdä ahkerasti töitä kurssin alussa.
 Joukko-opin lämmittelytehtävien avulla voi verestää muistiaan ja testata taitojaan.

Opetusajat

Viikot 36-41 ja 44-49:

Maanantai 12-14 D123, Tiistai 12-14 D123, Torstai 11-12 B121, Perjantai 10-12 C124 (Laskuharjoítukset)

Ensimmäinen luento tiistaina 4.9. klo 12-14.

Maanantain ja tiistain kaksoistunneilla opetus ja tauot jaotellaan hieman epästandardisti:

Eteneminen

Tähän ilmestyy aina seuraavan luennon alustava ohjelma. Käydyt asiat löytyvät kurssin luentopäiväkirjasta.
 Lista kirjasta läpikäydyistä asioista

• Maanantai 19.11.: Kompaktisuus

Kokeet

• 1. kurssikoe 18.10. 13-15 Exactumin auditorioissa
• 2. kurssikoe 13.12. 13-15 Exactumin auditorioissa

Ensimmäistä välikoetta korvaava koe järjestetään 2.11. kello 12-14. Kokeeseen saa osallistua mikäli on perusteltu este osallistua varsinaiseen
 ensimmäiseen välikokeeseen 18.10.

Harjoitustehtävät

Nk. Pitkät tehtävät

Harjoitustehtävät 1. Käsitellään perjantaina 7.9. Ratkaisut 1.

Harjoitustehtävät 2. Käsitellään perjantaina 14.9. Ratkaisut 2.

Harjoitustehtävät 3. Käsitellään perjantaina 21.9. Ratkaisut 3.

Harjoitustehtävät 4. Käsitellään perjantaina 28.9. Ratkaisut 4.

Harjoitustehtävät 5. Käsitellään perjantaina 5.10. Ratkaisut 5.

Harjoitustehtävät 6. Käsitellään perjantaina 12.10. Ratkaisut 6.

Harjoitustehtävät 7. Käsitellään perjantaina 2.11. Ratkaisut 7.

Harjoitustehtävät 8. Käsitellään perjantaina 9.11. Ratkaisut 8

Harjoitustehtävät 9. Käsitellään perjantaina 16.11. Ratkaisut 9

Harjoitustehtävät 10. Käsitellään perjantaina 23.11. Ratkaisut 10

Harjoitustehtävät 11. Käsitellään perjantaina 30.11. Ratkaisut 11

Harjoitustehtävät 12. Käsitellään perjantaina 7.12. Näistä saa maksimissaan neljä merkittyä tehtävää. Ratkaisut 12 (Pahoittelen että mallit olivat myöhässä.)

Esitelmä

Kurssiin kuuluu toisella periodilla pienryhmissä (2-3 henkilöä) valmisteltava ja esitettävä esitelmä.
 Esitelmästä saa maksimissaan 6 pistettä, jotka sisältyvät kurssin kokonaispisteisiin.
 Pienryhmiin jako sekä esitelmien aiheet ja esitysten yksityiskohdat käydään läpi
 periodien vaihteessa.

Suoritus

Kurssin voi suorittaa kahdella eri tavalla:

1. Pelkällä loppukokeella.
2. Kahdella välikokeella, harjoitustehtävilla ja pienryhmässä tehtävällä esitelmällä. Pisteitä jaetaan seuraavasti:
   • Kustakin välikokeesta voi saada maksimissaan 24 pistettä.
   • Esitelmän valmistelusta ja esittämisestä maksimissaan 6 pistettä.
   • Laskuharjoitustehtäviä on kahdenlaisia.
     • 'Tavallisia' laskuharjoitustehtäviä on noin kuusi kappaletta viikossa,
        ja niiden tekemisestä voi saada maksimissaan 10 pistettä (5 pistettä/periodi), ja pisteet jaetaan seuraavasti:
        20+% = 1p, 35+% = 2p, 50+% = 3p, 65+% = 4p ja 80+% = 5p.
     • Näiden lisäksi toisella viikolla jaetaan kokoelma (20 kappaletta) 'pitkäkestoisia' tehtäviä.
        Tarkat ohjeet näiden tehtävien palautuksesta löytyvät tehtäväpaperista. Tiivistetynä,
        näistä tehtävistä tulee palautta kirjallisena vähintään 12 kappaletta luennoitsijalle kurssin loppuun mennessä.
        Tehtäviä tulee kuitenkin palauttaa vähintään 5 kappaletta ennen ensimmäistä välikoetta
        ja yhteensä vähintään 10 kappaletta ennen toista välikoetta. Palauttamalla tehtäviä enemmän kuin minimimäärän
        voi saada yhden tai kaksi lisäpistettä.

Maksimipisteet kurssilta ovat koepisteet + esitelmäpisteet, eli yhteensä 54 pistettä.
 Laskuharjoituspisteet ovat siis suoraa bonusta
 kokonaispistemäärään. Arvosanat jakautuvat seuraavasti:

Kurssiarvosanaa on mahdollista korottaa lisätöiden avulla yhdellä pykälällä, mikäli

1. Kummastakin kurssikokeesta on saanut ainakin 6 pistettä.
2. 'Tavallisista' laskuharjoituksista on tehty vähintään puolet.
3. Pitkäkestoisista laskuharjoituksista on palautettu vähintään 4.
4. On osallistunu esitelmän valmisteluun ja esitykseen pienryhmässä.

Näistä lisätöistä on sovittava erikseen luennoitsijan kanssa asian tullessa ajankohtaiseksi.

Kirjallisuus

Kurssilla käytetään pääasiallisena materiaalina Jussi Väisälän kirjaa Topologia I. Kirjaa löytyy kirjastosta eri painoksia
 parikymmentä kappaletta, eikä painoksella pitäisi olla oleellista väliä. Oman version voi ostaa mitä luultavimmin
 Limes ry:n toimistolta 20-30:n euron hintaan. Itse pidän kirjaa ostamisen arvoisena.

Kurssin sisällöstä

Kurssilla käydään läpi metristen avaruuksien sekä niiden topologian peruskäsitteitä. Kurssi seuraa
 pääosin aiemmin mainittua Jussi Väisälän kirjaa Topologia I, tosin jätämme luultavasti käsittelemättä luvun
 15 (lineaarikuvaukset). Kurssin motivaationa toimii palava halumme yleistää kurssilla analyysi I opitut
 raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteet yleisempiin tilanteisiin. Tätä tehdessämme tulemme törmäämään muihinkin käsitteisiin,
 jotka ovat yleisessä jatkuvuuden tutkimuksessa ja -käsittelyssä ensiarvoisen tärkeitä.

Yritän selkeyttää kurssin oppimistavoitteiden ydinsisältöä vastaamalla kysymykseen:
"Jos luennoin kurssia, jonka esitietovaatimuksena on Topologia I, mitä oletan opiskelijan jo osaavan?"

Minimissään olettaisin, että opiskelijat ymmärtävät jatkuvuuden käsitteen metrisessä avaruudessa, pystyvät
 näyttämään joukoista ovatko ne avoimia tai kompakteja ja tutkimaan jonojen raja-arvoja. Tämän perusolettamuksen lisäksi
 useilla, erityisesti analyysin kursseilla, käytetään erityisesti normeista saatavia metriikoita ja tutkitaan täydellisiä metrisiä
 avaruuksia ja niiden yhtenäisiä avoimia osajoukkoja, joten niiden tulisi olla hallussa.

Ydinsisällöksi voisi siis tiivistää seuraavien käsitteiden ymmärtämisen: Avoin joukko, metriikka, jatkuvuus, kompaktius.
 Ensimmäinen käsite on lihavoitu koska topologia rakentuu avoimuuden käsitteeseen. Näiden lisäksi teiltä tullaan
 tämän kurssin jälkeen odottamaan käsitteiden sulkeuma, jonon raja-arvo, täydellisyys, yhtenäisyys ja homeomorfismi
 osaamista. Näiden käsitteiden osaaminen kuitenkin perustuu (more or less) ensiksi mainittujen neljän käsitteen varaan.

Laskuharjoitukset

Moodle

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.