Topologia II, kevät 2014
Topologia II, kevät 2014
Luennoitsija
Laajuus
10 op.
Tyyppi
Syventävä opinto
Esitietovaatimukset
Topologia I
Luentoajat
Viikot 3-9 ja 11-18, ma 12-14 ja ti 14-16 C124. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia, ma 14-16 DK117. (Pääsiäisloma 17.-23.4.)
Ilmoittaudu kurssille
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!
Kurssikuvaus
Topologia II on matematiikan syventävien opintojen valinnainen kurssi, joka sopii mainiosti kaikille matematiikan ja soveltavan matematiikan opiskelijoille. Erityisen suositeltava se on mm. algebran ja topologian sekä matemaattisen logiikan linjoilla.
Kurssilla opiskellaan yleistä topologisten avaruuksien teoriaa, jossa lähtökohtana ovat avaruuden avoimet joukot (eli topologia) sellaisenaan – ilman että ne määriteltäisiin esimerkiksi metriikan avulla kuten kurssilla Topologia I.
Sisältöä:
- topologiset avaruudet
- topologioiden kannat
- topologioiden indusointi kuvausten avulla
- relatiivitopologia, tulotopologia ja tekijätopologia
- avaruuksien erotteluominaisuudet, mm. Hausdorff-ominaisuus
- avaruuksien numeroituvuusominaisuudet
- yhtenäisyys
- kompaktius ja kompaktisointi
- metristys
- kuvausten jatkuva jatkaminen
Suorittaminen
Kurssilla järjestetään kaksi välikoetta:
- 1. välikoe pidetään pe 28.2. klo 9-11 Exactumin salissa D122. Viimeinen kuulusteltava asia on tulotopologia. Koealue muodostuu siis kirjan pykälistä 0-7 ja harjoitusten 1-6 tehtävistä, poislukien tähdellä "*" merkityt kohdat. Seuraavat aihepiirit eivät siis kuulu koealueeseen: verkot ja filtterikannat (3.15, 3.16), kompakti-avoin topologia (7.17), Cantorin joukkoon liittyvät tarkastelut (7.18) ja inverssi raja (7.21, 7.22). Normiavaruuksien jatkuvien lineaarikuvausten teoriaa (Topologia I, luku 15) ei myöskään oleteta etukäteen tunnetuksi. (Koekysymykset: )
- 2. välikoe pidetään ti 13.5. klo 12-14 Exactumin salissa D123. Koealueena ovat kirjan luvut 8-13, 15-20 ja harjoitukset 7-13, poikkeuksena kirjassa tähdellä "*" merkityt kohdat: näistä ainoastaan kohdat 10.17*-10.20* (Kuratowskin upotuslause ja metrisen avaruuden täydellistymä) kuuluvat koealueeseen. Seuraavia "tähdettömiä" kohtia yo. luvuista ei ehditty käsitellä, eivätkä nämä siis myöskään kuulu koealueseen: 18.1, 18.2. (jonokompaktien avaruuksien numeroituvat tulot), 19.6. (koskee monistoja), 20.4.-20.9. (retraktiot ja retraktit).
Välikokeista saa enintään 24+24 pistettä, ja välttämätön ehto hyväksytylle suoritukselle on, että kummastakin kokeesta saa ainakin 7 pistettä. Harjoitustehtävien ratkaisemisesta saa lisäpisteitä välikoepisteiden jatkoksi.
Kirjallisuus
Kurssilla seurataan oppikirjaa
- Jussi Väisälä: Topologia II , 2. painos (2005), Limes ry (korjaukset)
Myös kirjan 1. painos (1999) käy (korjaukset). Huomaa kuitenkin, että lauseiden, harjoitustehtävien ym. kohtien numeroinnissa on paikoin pieniä eroja 2. painokseen verrattuna.
Laskuharjoitukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | ma | 14-16 | DK117 |
Ratkaisut lähetetään asianomaisille sähköpostissa.
| Harjoitukset | |
|---|---|---|
7. | 10.3. | |
8. | 17.3. | |
9. | 24.3. | |
10. | 31.3. | |
11. | 7.4. | |
12. | 14.4. | |
13. | 28.4. |
| Harjoitukset | |
|---|---|---|
0.* | 13.1. | |
1. | 20.1. | |
2. | 27.1. | |
3. | 3.2. | |
4. | 10.2. | |
5. | 17.2. | |
6. | 24.2. |
Luentopäiväkirja
Luennot | Sisältö |
|---|---|
13. & 14.1. | Johdantoa: notaatioiden ja joukko-opin kertausta. Kirjan luku 0 ja luvusta 1 kappaleet 1-15. |
20. & 21.1. | Historiaa (1.16). Topologian kanta, ympäristökanta ja esikanta. Annetun kokoelman virittämä topologia. (Luku 2) |
27. & 28.1. | Jatkuva kuvaus. Avoin ja suljettu kuvaus. Homeomorfismi. Pistejonot yleisessä topologisessa avaruudessa. (Luku 3. Verkot ja filtterikannat (kappaleet 3.15 ja 3.16) vapaaehtoisena lisätehtävänä.) |
3. & 4.2. | Yhden kuvauksen indusoima topologia (Luku 4). Relatiivitopologia. Kuvauksen rajoittaminen ja maalin pienentäminen. Upotus ja immersio. (Luku 5) |
10. & 11.2. | Kuvausperheen indusoima topologia, sen universaalisuus ja transitiivisuus. (Luku 6) Äärellisen tulon tulotopologia. (Luku 7.1.) |
17. & 18.2. | Yleinen tulotopologia. (Luku 7, paitsi tähdellä merkityt kohdat, joista käytiin läpi pelkästään 7.16*.) |
24. & 25.2. | Koindusointi (Luku 8). Koealueen kertausta, sekä esimerkkinä pinnantäyttävän käyrän konstruointi Cantorin joukkoa käyttäen (7.18*). |
10. & 11.3. | Tekijätopologiasta (Luku 9) kohdat 1.-11. (Ositukset ja ekvivalenssirelaatiot, projektiivinen avaruus, joukon luhistus pisteeksi ja kuvauksen kanoninen hajotelma.) |
17. & 18.3. | Esimerkkejä tekijätopologiasta (Kohta 9.12). Metriset avaruudet, niiden numeroituvat tulot, Bairen lause ja tasainen suppeneminen. (Luku 10: 1-6 & 8-10 & 12.) |
24. & 25.3. | Tasainen jatkuvuus, Kuratowskin upotuslause, täydellistymä (Luku 10: 13-15, 17-19). Erotteluaksiomat (Luku 11). |
31.3. & 1.4. | Numeroituvuusaksiomat (Luku 12: 1-23). |
7. & 8.4. | Yhtenäisyys, komponentit, polkuyhtenäisyys, polkukomponentit ja lokaalinen yhtenäisyys. (Luku 13: 1-21 & 23-31.) Kompaktiuden määritelmä. (Luku 15: 1-5.) |
14. & 15.4. | Kompaktien avaruuksien perusominaisuuksia (Luku 15: 6-20). Tihonovin lause (Luku 18: 4-5). Urysonin lemma (Luku 19: 1-2) ja Tietzen jatkolause (Luku 20: 1-3). Valinta-aksioma ja Zornin lemma (Liite Z: 1-5, ei todistusta Z.6). Huom: Kirjassa on painovirhe kohdassa 15.8: ÄLO:n määritelmästä pitää poistaa ehto "A on epätyhjä", ts. riittää, että kokoelma A on osajoukko kokoelmasta F. Tämän lisäksi kohdassa 15.8. ja Lauseessa 15.9. tarvitaan tyhjän kokoelman leikkausta ja unionia: näiden määritelmät on annettu Zornin lemmaa (Lause Z.4) edeltävällä rivillä. (Erityisesti siis tyhjä leikkaus on relatiivinen käsite, joka riippuu perusjoukon X valinnasta.) |
28. & 29.4. | Urysonin upotuslause (Luku 19: 3-5, 7-8). Lisää kompakteista joukoista, mm. Bolzanon ja Weierstrassin lause (Luku 15: 21-23). Lokaalisti kompakti avaruus, yhden pisteen kompaktisointi (Luku 17: 1-5, 7-9). Koealueen kertausta, erityisesti Luku 16:1-5, joissa kerrataan Topologia I:ssä esitettyjä kompaktin metrisen avaruuden ominaisuuksia. |