Mitta ja integraali, kesä 2015

The [toc] macro is a standalone macro and it cannot be used inline. Click on this message for details.
This macro generates standalone content. As a consequence you need to make sure to use a syntax that separates your macro from the content before and after it so that it's on a line by itself. For example in XWiki Syntax 2.0+ this means having 2 newline characters (a.k.a line breaks) separating your macro from the content before and after it.

Ajankohtaista

• Tenttiaika on päätetty; tiedot alla.
• Kurssilla on käytössä Presemo (http://presemo.helsinki.fi/mitta15), jonka avulla voi lähettä anonyymisti kommentteja ja kysymyksiä luennon aikana esim. älypuhelinta käyttäen.

Opetus

Kurssi opetetaan kisälliopetusperiaatteella. Tämä tarkoittaa, että opiskelijan itsenäinen panos jakautuu seuraavasti: 

1. Kurssimateriaalin järjestelmällinen läpikäyminen jätetään opiskelijan vastuulle. Opiskelija tutustuu tulevan luennon materiaaliin etukäteen, ja merkitsee itselleen epäselvät kohdat. Luennoilla, joita on tavallista vähemmän, keskitytään kurssin ydinasioihin sekä epäselväksi jääneiden kohtien valaisemiseen.
2. Harjoituksia on määrällisesti enemmän (valmistaudu kiireeseen), joskin suuri osa on suoraviivaisia valmistelevia tehtäviä. Lisäksi opiskelija saa niihin apua kisällipajassa (joissa voi myös kysyä lisää kysymyksiä luennoitsijalta). On erittäin suositeltavaa, että opiskelija pyrkii ratkaisemaan (varsinkin valmistelevia) tehtäviä jo ennen kyseisen asian käsittelemistä luennoilla. Tällöin opetus on huomattavasti tehokkaampaa sekä luennoilla että kisällipajassa. Vältä siis tilannetta, että tulet luennolle tai pajaan täysin ummikkona, asiaan etukäteen tutustumatta.

Luennot ovat viikoilla 32-35, ma-to klo 12.00-13.30 salissa D123.

Kisälliopetusta em. päivinä klo 14-16 salissa C123    Kisälliopetus siirtyy 10.8 alkaen kolmannen kerroksen käytävälle. Nähdään siellä.

Motivointi

Kyllä, mitta/integrointi-teoria on keskeinen työkalu modernissa analyysissä; kyllä, se äärimmäisen hyödyllinen integraalien raja-arvojen laskussa; ja kyllä, sillä voi integroida yleisempiä funktioita kuin Riemann-integraalilla. Kaikki tämä on kuitenkin toissijaista lisähyötyä. Ylivoimaisesti paras motivaatio mittateorialle on sen yksinkertainen kauneus. Varoitus on kuitenkin paikallaan: Ensikertalaiselle mittateoria tulee näyttäytymään kenties lannistavan monimutkaisena, sillä se sisältää valtavasti uusia käsitteitä ja todistusten ideat tuntuvat välillä hautautuvan yksityiskohtien alle. Älä kuitenkaan pelästy; ydin ideat ovat oikeasti helppoja, ja yksityiskohdat eivät vaadi muuta kuin riittävää harjoittelua.

Kurssilla on siis kaksi lähes vastakohtaista ilmentymää: yksinkertainen kauneus ja monimutkainen yksityiskohtaisuus. Juuri siksi Mitta ja Integraali tarjoaa sinulle täydellisen mahdollisuuden kehittyä matemaatikkona uudelle tasolle. Anna minun selittää mitä tarkoitan. Matematiikka ei voi olla pelkkää käsienheiluttelua, olkoon kuinka esteettistä tahansa. Se ei myöskään voi jäädä pelkäksi yksityiskohtiin tuijottamiseksi. Todellinen matemaattinen kypsyys mitataankin kyvyssä liikkua suluvasti näiden kahden täsmällisyyden tason välillä; kyvyssä erottaa suuren luokan ideat trivialilteeteista ja toisaalta, tarpeen tullen, taidossa täyttää intuition ylenkatsomat loogiset aukot.

Haaste: Opettele käyttämään hyödyksi molempia ilmentymiä. Taito on universaali suunnistettaessa matematiikan maailmassa, ja pitkällä tähtäimellä monin verroin hyödyllisempi kuin mikään tulos mitä kurssilla on tarjota. Lisäksi se tekee kaikesta paljon hauskempaa. Omasta mielestämme Mitta ja Integraali on paras yksittäinen kurssi harjoittaa tätä  korvaamatonta kykyä. Ota ensimmäinen askel kohti todellista matemaattista kypsyyttä. Lupaamme tehdä kaikkemme, jotta työsi palkitaan ja nautit siitä -- niin tosiaan, muista nauttia, se vapauttaa luovuutesi paremmin kuin suorittaminen.

   -Anssi ja Mikko

Sisältö:

Ydinaines

Lebesguen ulkomitta Rn:ssä
Mitalliset joukot (Caratheodoryn ehto, numeroituvan yhdisteen/leikkauksen mitallisuus)

Mittojen konvergenssi
Mitalliset kuvaukset, rajafunktion mitallisuus
Lebesguen integraali (yksinkertaiset funktiot, ei-negatiiviset mitalliset funktiot, integroituvat funktiot)
Konvergenssilauseet (monotonisen konvergenssin lause, Fatoun lemma, dominoidun konvergenssin lause)

Täydentävä tietous

Sigma-algebrat
Borel-joukot
Yleinen mitta-avaruus
Ei-mitallinen joukko
Fubinin lauseet

Kokeet

Tentti järjestetään perjantaina 4.9. kello 13.15–16 salissa CK112.

Tenttiä varten laaditaan opettajien toimesta muistilappu, jota saa käyttää apuna. Sen näkee tästä: Muistilista. Lista on jaossa tenttitilaisuudessa. Omaa muistilistaa ei saa tuoda.

Kurssimateriaali

MIFinal.pdf

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Kurssilla annetaan viikottain kahdet laskuharjoitukset, jotka opiskelijat ratkovat ja palauttavat kirjallisesti. Tehtävien tekemiseen saa henkilökohtaista ohjausta salissa C123 kolmannen kerroksen käytävällä ma-to klo14-16.

Laskuharjoitusten tekeminen alkaa heti: ensimmäiset palautukset ovat ke 5.8. Tehtävien tekeminen ei ole pakollista, mutta välttämätöntä kurssin sisällön oppimiseksi. On hyvin vaikea päästä kokeesta läpi, jos ei ole tehnyt laskuharjoituksia.

Laskuharjoitustehtäviä on kahdenlaisia. Tähdellä merkityt tarkistetaan ja niistä saa pisteitä vain silloin, kun tehtävä on tehty oikein. Myös tähdettömät tehtävät palautetaan, mutta ohjaajat eivät tarkista niitä yksityiskohtaisesti. Tähdettömien tehtävien tarkistaminen on siis opiskelijan omalla vastuulla. Tähdettömistä tehtävistä ilmestyy kurssin sivulle esimerkkiratkaisut, joiden avulla ratkaisunsa voi tarkastaa.

Harjoitustehtäviä tekemällä voi ansaita lisäpisteitä, joilla voi korvata koepisteitä. Tähdellä merkityistä oikein tehdyistä tehtävistä voi saada maksimissaan neljä lisäpistettä. Pisteet kertyvät seuraavasti:

Myös tähdettömistä tehtävistä voi saada maksimissaan neljä lisäpistettä. Ne kertyvät saman taulukon mukaan kuin tähtitehtävistä saatavat lisäpisteet. Yhteensä lisäpisteitä voi siis saada maksimissaan kahdeksan, jos tekee tähdellä merkityistä tehtävistä oikein vähintään 90 % ja lisäksi tähdettömistä tehtävistä myös vähintään 90 %.

Harjoitustehtävät

• Tehtävät 1 - Ratkaisuehdotukset 1
• Tehtävät 2 - Ratkaisuehdotukset 2
• Tehtävät 3 - Ratkaisuehdotukset 3
• Tehtävät 4 - Ratkaisuehdotukset 4
• Tehtävät 5 - Ratkaisuehdotukset 5
• Tehtävät 6 - Ratkaisuehdotukset 6
• Tehtävät 7 - Ratkaisuehdotukset 7

Palautetta kurssista

Matematiikan ja tilastotieteen laitoksella on käytössä jatkuva palautteen keruu eli voit antaa palautetta missä tahansa kohdassa kurssia. Palautelomakkeeseen pääset täältä.