Topologia I luentopäiväkirja, kevät 2013
Topologia I luentopäiväkirja, kevät 2013
Luennoilla käsitellyt asiat (viittaukset oppikirjaan Topologia I):
14.1. Käytännön järjestelyistä. Johdanto: yleisesti topologiasta ja topologista käsitteistä. (Luku 0.) Joukko-opin kertausta: joukot ja kuvaukset, karteesinen tulo. (Huom.: muut käsitteet ja tulokset vasta kun niitä tarvitaan.) (Luku 1.) Vektoriavaruus, esimerkkinä R^n.
16.1. Vektorialiavaruus ja lisäesimerkkejä: jatkuvien funktioiden avaruus C[a,b] on vektoriavaruus. Sisätulo ja sisätuloavaruus, sekä sisätulon antama normi. Schwarzin epäyhtälö ja Lause 1.5. Perusesimerkki: euklidinen normi R^n:ssä. Normiavaruus. Esimerkki: max-normi avaruudessa C[a,b].
21.1. Esimerkki: joitakin muita normeja R^n:ssä. (Luku 2.) Metriikka ja metrinen avaruus. Lause 2.2: jokainen normiavaruus on metrinen avaruus (normin indusoima metriikka). Esimerkkejä: euklidinen metriikka R^n:ssä, max-metriikka avaruudessa C[a,b], diskreetti metrinen avaruus, Hammingetäisyys. Kuulat ja pallot. Esimerkki: reaalisuoralla R.
23.1. Kuulat tasossa R^2 (euklidinen ja max-normi) sekä C[0,1]:ssa. Joukkojen välinen etäisyys d(A,B) ja pisteen x etäisyys d(x,B) joukosta B. Esimerkkejä. Joukon läpimitta. Esimerkkeinä kuulien B(a,r) läpimitat yleisessä metrisessa avaruudessa ja normiavaruudessa. Rajoitetut joukot metrisessa avaruudessa.
28.1. Esimerkki rajoittamattomasta joukosta. Rajoitettu kuvaus. (Luku 3.) Avoimen joukon määritelmä metrisessa avaruudessa. Lause 3.1: jokainen avoin kuula on avoin joukko. Lisää esimerkkejä. Joukkoperheen yhdiste ja leikkaus. Lause 3.3: mielivaltainen yhdiste avoimista joukoista on avoin joukko. Esimerkki: Lauseen 3.3 vastine ei päde leikkauksille.
30.1. Äärellisen monen avoimen joukon leikkaus on avoin (Lause 3.5). Ympäristöt. Avoimet joukot ympäristöjen avulla. Erottelulause: eri pisteillä on aina erilliset ympäristöt (Lause 3.11). Erakkopiste ja diskreetti avaruus. Lisätieto: topologinen avaruus. (Luku 4.) Metristen avaruuksien välisen kuvauksen jatkuvuus: (epsilon, delta)-määritelmä.
4.2. Esimerkkejä jatkuvista/epäjatkuvista kuvauksista metristen avaruuksien välillä. Lipschitz-kuvaukset. Lause 4.5: Lipschitz-kuvaus on jatkuva metristen avaruuksien välillä.
6.2. Esimerkki: jatkuva kuvaus joka ei ole Lipschitz. Kuvauksen jatkuvuus ympäristöjen avulla. Alkukuvaehto jatkuvuudelle (Väisälä, 4.8). Yhdistetyn kuvauksen jatkuvuus. (Luku 5.) Jatkuva kuvaus normiavaruuteen: summakuvauksen jatkuvuus.
11.2. Tulokuvauksen jatkuvuus ja esimerkkejä. Projektiokuvauksen jatkuvuus ja sovelluksia. Esimerkkejä avoimista joukoista alkukuvaehdon (Väisälä, 4.8) avulla. Komponenttikuvaukset ja kuvauksen f jatkuvuus metrisestä avaruudesta X euklidiseen avaruuteen R^n.
13.2. Esimerkki: funktion jatkuvuus komponenttikuvausten avulla. (Luku 6.) Suljettu joukko: määritelmä, esimerkkejä ja perusominaisuuksia. Lause 6.3: suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu ja äärellisen monen suljetun joukon yhdiste on suljettu. Joukon sulkeuma: perusominaisuuksia ja esimerkki.
18.2. Joukon sulkeuma: lisää ominaisuuksia ja esimerkkejä. Kuvauksen jatkuvuuden karakterisointi sulkeuman ja suljettujen joukkojen avulla (Lauseet 6.12 ja 6.13). Esimerkkejä suljetuista joukoista Lauseen 6.13 avulla.
20.2. Lauseen 6.13 todistus. Erillisten suljettujen joukkojen separointi ympäristöillä; joukon kasautumispiste, joukon sulkeuman karakterisaatio sen kasautumispisteiden avulla. Katsaus koealueeseen ja vanhoja koetehtäviä.
II. periodi (alkaa 11.3)
11.3. (Luku 7.) Relatiivitopologia: osajoukon A avoimien ja suljettujen joukkojen karakterisaatio; kuvauksen jatkuvuuden päätteleminen rajoittumakuvausten jatkuvuudesta (Lause 7.13).
13.3. (Luku 8.) Annetun joukon A sisäpiste, ulkopiste ja reunapiste. Joukon sisus (= sisäpisteiden joukko) ja reuna. Esimerkkejä ja perusominaisuuksia. (Luku 9.) Kertausta: bijektio ja käänteiskuvaus. Homeomorfismi ja homeomorfiset avaruudet. Esimerkki.
18.3. Lisäesimerkkejä homeomorfismeista. Upotukset ja esimerkkejä sellaisista. Homeomorfismien ja homeomorfisten avaruuksien perusominaisuudet. Kertausta: bijektioiden perusominaisuudet.
20.3. Homeomorfismit säilyttävät avoimet joukot ja näihin perustuvat topologiset käsitteet (joukon sisus, sulkeuma ja reuna). Bilipschitz-kuvaus ja isometria:esimerkkejä ja ominaisuuksia. (Luku 10.) Metriikkojen ekvivalenssi. Esimerkkejä ekvivalenteista normeista R^n:ssä. Jokainen metriikka on ekvivalentti rajoitetun metriikan kanssa. (Huom. monisteen kohtia 10.8-10.15 ei käsitellä vuonna 2013).
25.3. (Luku 11.) Pistejonon raja-arvo metrisessä avaruudessa: määritelmä ja esimerkkejä. Pistejonon raja-arvo on yksikäitteinen (jos raja-arvo on olemassa). Sulkeuman karakterisaatio suppenevien pistejonojen avulla (Lause 11.6).
27.3. Jonokriteeri funktion jatkuvuudelle (Lause 11.8). Vektorijonon suppeneminen euklidisessa avaruudessa R^n. Summajono ja skalaarijonolla kertominen normiavaruudessa. Annetun jonon osajonot. Jonon kasautumisarvot. Kasautumisarvojen yhteys suppeneviin osajonoihin (Lause 11.18).
8.4. Funktiojonon tasainen ja pisteittäinen suppeneminen. Esimerkkejä. Funktiojonon jatkuvuus säilyy tasaisessa suppenemisessa (Lause 11.24). Kuvauksen raja-arvo pitkin annettua joukkoa A. Esimerkki ja vertailu Analyysi I:n raja-arvokäsitteeseen.
10.4. Sovellus: jatkuvan kuvauksen jatkuva jatke joukon sulkeumaan (Lause 11.33; ei todistettu luennoilla). (Luku 12.) Cauchy-jonot ja täydellinen metrinen avaruus. Esimerkkejä: R^n on täydellinen euklidisessa metriikassa kaikilla n (tapaus n = 1: täydennys Analyysi I kurssin tietoihin). Kontraktiokuvaus ja kiintopiste. Banachin kiintopistelause (Lause 12.8) ja esimerkki.
15.4. Kiintopistelauseen virhearvio. Tasainen jatkuvuus: määritelmä ja perusesimerkkejä. (Luku 13.) Kompakti metrinen avaruus: määritelmä ja yksinkertaisia esimerkkejä. Aputulos: jokaisella reaalilukujonolla on monotoninen osajono.
17.4. Jokaisella rajoitetulla reaalilukujonolla on suppeneva osajono. Kompakti osajoukko on suljettu ja kompakti avaruus on rajoitettu. R^n:n osajoukko A on kompakti jos ja vain jos A on suljettu ja rajoitettu (Heine-Borel, Lause 13.14). Esimerkkejä. Bolzano-Weierstrassin lause (13.17): kompaktin avaruuden äärettömällä osajoukolla on aina kasautumispiste. Kompaktissa avaruudessa määritelty jatkuva reaaliarvoinen kuvaus saa suurimman ja pienimmän arvonsa (Lause 13.21).
22.4. Lauseen 13.21 todistus. Esimerkkejä ja sovelluksia (mm. joukkojen väliset etäisyydet, 13.22 ja 13.23). Kriteeri käänteiskuvauksen jatkuvuudelle (13.26). Kompaktin avaruuden jatkuva kuvaus on tasaisesti jatkuva (Lause 13.36).
24.4 (Katsaus lukuun 14: kohdat 14.2-14.23) Yhtenäinen ja epäyhtenäinen metrinen avaruus (ja osajoukko) sekä yhtäpitäviä muotoiluja. Yhtenäisen joukon sulkeuma on yhtenäinen. Yhdiste yhtenäisistä joukoista säilyy yhtenäisenä jos joukoilla on yhteinen piste (14.12). Reunanylityslause. Lukusuoran R osajoukko E on yhtenäinen jos ja vain jos E on väli tai yksiö. Yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen. Sovellus: Bolzanon lauseen yleistys (14.19). Polkuyhtenäisyys. Sovellus: R ja R^2 eivät ole homeomorfisia (14.29 kun n=2). Katsaus koealueeseen ja vanhoja koetehtäviä.
Vanhoja kurssikokeita: (luennoijan laatima; mallivastaukset löytyy Topologia I kurssin kevään 2009 kotisivuilta) sekä ja (toisten luennoijien laatimia).
Kurssin ja
(luennoijan laatima; mallivastaukset löytyy Topologia I kurssin kevään 2009 kotisivuilta) sekä ja (Huom:. toisten luennoijien laatimia).
Kurssin .
Topologia I:n sekä (). Topologia I kurssin kevään 2009 kotisivuilta löytyy myös luennoijan laatimia aikaisempia erilliskokeita.