Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2013
Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2013
Luennoitsija
Ajankohtaista
Maanantain 29.4. luento siirtyy torstaille 2.5. klo 12-14, sali on B322. Tämä on kurssin viimeinen luento, ja viimeinen laskuharjoitus pidetään myös 2.5.
Toinen välikoe on ke 8.5. klo 12.00-15.00 sali A111.
Kurssin perustietoja
Kurssin laajuus on 10 op. Se kuuluu syventäviin opintoihin. Esitietovaatimuksina ovat yhden ja useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta, lineaarialgebra, metristen avaruuksien alkeet, mitta- ja integrointiteorian alkeet.
Funktionaalianalyysi on analyysiä ääretönulotteisissa vektoriavaruuksissa. Mielenkiinnon kohteena ovat esimerkiksi Banach-avaruudet eli täydelliset normiavaruudet, sekä lineaariset operaattorit näiden välillä. Tavallisimpia Banach-avaruuksia ovat erilaiset funktio- ja jonoavaruudet, esimerkiksi Sobolev-avaruudet. Lineaarisista operaattoreista ovat esimerkkeinä Fourier-muunnos, Laplace-operaattori ja siirto-operaattori
Todistamme kurssilla ``kolme funktionaalianalyysin peruslausetta'' sekä tutkimme Banach- ja Hilbert-avaruuksien ja niiden lineaaristen operaattoreiden perusominaisuuksia. Käsittelemme sovellusesimerkkejä. Banach-avaruuksia tarvitaan esimerkiksi
- Kompleksi- ja harmonisessa analyysissä. Hardy-ja Bergman-avaruudet, Fourier- ja Hilbert-muunnokset ovat näiden alojen yhteisiä tutkimuskohteita.
- Sovelletussa matematiikassa. Integraaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä ovat Neumannin sarja ja Fredholm-teoria.
- Matemaattisessa fysiikassa. Aikakehitystä jossain fysikaalisessa systeemissä kuvataan usein parabolisilla osittaisdifferentiaaliyhtälöillä, joiden ratkaisujen luonne riippuu oleellisesti elliptisen osan spektraaliominaisuuksista. Kvanttimekaniikan kieli on Hilbert-avaruuksien operaattoriteoria.
Kurssin sisältö
Banach-ja Hilbert-avaruuksien sekä niiden lineaaristen operaattoreiden perusteet: Normiavaruus, täydellisyys, Banach-avaruus, konkreettiset esimerkit; Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälö; Hilbert-avaruus, ortogonaalinen projektio ja ortonormaalit kannat; rajoitettu lineaarinen operaattori; duaaliavaruus, Hahn-Banachin lauseet; Banach-Steinhausin lause; avoimen kuvauksen ja suljetun kuvaajan lauseet.
Täydentävää materiaalia: Optimointi Hilbert-avaruudessa; kompaktisuus ja kompaktit operaattorit; Fourier-sarjojen suppeneminen; Heikko derivaatta ja Sobolev-avaruus; Weierstrassin approksimaatiolause.
Ajan salliessa tutustutaan lyhyesti myös seuraaviin aiheisiin: Heikko topologia; projektiot Banach-avaruuksissa ja komplementoidut aliavaruudet; Banach-avaruuksien kannat; Fredholmin teoria; kompaktin itseadjungoidun operaattorin spektraaliesitys.
Luentoajat
Viikot 4-9 ja 11-18 ma 14-16, ke 10-12 C123, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.
Pääsiäisloma 28.3.-3.4.
Kokeet
Kaksi kurssikoetta. Ensimmäinen välikoe on ma 11.3. klo 14.15-16.00 sali C123. Toinen välikoe on ke 8.5. klo 12.00-15.00 sali A111.
Kurssin suorittamiseksi on tavanomaisen yhteenlasketun minimipistemäärän lisäksi kummastakin kokeesta erikseen saatava minimipistemäärä 6/24.
Kurssimateriaali ja oheiskirjallisuus
Funktionaalianalyysin peruskurssi, (seuraamme vuoden 2010 versiota)
Rynne, B., Youngson, M., Linear Functional Analysis, Springer Undergraduate Mathematics Series, London, 2000.
Friedman, A., Foundations of Modern Analysis, Dover 1982.
Maddox, I.J., Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, 1977.
Rudin, W., Functional Analysis. McGraw Hill 1974.
Brezis, H., Analyse fonctionnelle, Masson, Paris 1993.
Werner, D., Funktionalanalysis, Springer Lehrbuch 1990.
Laskuharjoitustehtävät
Jokaisessa laskuharjoituksessa on (pääsääntöisesti) neljä tehtävää.
Lisäpisteet suoritetuista laskuista: 25 % = 1 piste, 35 % = 2 pistettä, 45 % = 3 pistettä, 55 % = 4 pistettä, 65 % = 5 pistettä, 75 % = 6 pistettä. Nämä lisätään kurssikokeiden (max. 2 x 24 pistettä) pisteisiin.
Ilmoittaudu
Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.
Laskuharjoitukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | to | 16-18 | C122 | Aleksandr Pasharin |