Aika-taajuusanalyysi, talvi 2012

Luennoitsija

Tuomas Hytönen

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Mitta ja integraali, Reaalianalyysi I, (Fourier-analyysi)

Luentoajat

Viikot 3-9 ma 10-12, to 14-16 DK117.

Ensimmäinen luento ma 16.1., viimeinen luento to 1.3.

Ei luentoa ma 23.1.

Sisältö

Käytännön esimerkki "aika-taajuusanalyysistä" on musiikkikappaleen esittäminen nuottimerkinnöillä: yksittäinen nuotti kuvaa ääntä, jolla on tietty taajuus (äänenkorkeus) ja tietty ajallinen kesto. Todellisuudessa tällainen nuotti on matemaattisesti mahdoton idealisointi, sillä Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta seuraa, ettei sama signaali voi olla sekä ajallisesti rajoitettu että tarkasti tietyllä taajuudella. Kurssilla tutkittavaa aika-taajuusanalyysiä voidaan karkeasti ajatella funktion esittämisenä "nuotteina", niissä rajoissa kuin se on matemaattisesti mahdollista.

Matematiikassa puhdasta taajuutta kuvaa siniaalto tai sen kompleksinen vastine e^ikx. Nämä ovat ns. Fourier'n sarjojen perusrakennuspalikoita.

Ruotsalaisen Lennart Carlesonin 1966 todistama Fourier'n sarjojen pisteittäinen suppeneminen on yksi 1900-luvun matematiikan merkittävimpiä tuloksia. Vasta vuosituhannen vaihteen tienoilla tämän nerokkaan todistuksen menetelmät ymmärrettiin osana yleisempää aika-taajuusanalyysin teoriaa, jota erityisesti yhdysvaltalainen Michael Lacey ja saksalainen Christoph Thiele kehittivät.

Kurssin tavoitteena on tutustua tähän teoriaan, aluksi yksinkertaisemman diskreetin ns. Walshin mallin kautta, joka kuitenkin havainnollistaa teorian keskeisiä piirteitä ilman tiettyjä teknisiä hankaluuksia, ja todistaa ainakin Walshin mallin versio Carlesonin lauseesta. Ajan salliessa kunnianhimoisena tavoitteena on päästä myös varsinaiseen Carlesonin lauseeseen.

Kurssia voi ajatella itsenäisenä jatko-osana Kari Astalan syksyllä luennoimalle Fourier-analyysin kurssille, mutta Fourier-analyysin taustatietoja voidaan käsitellä tarpeen mukaan.

Harjoitustehtävät

1. tehtäväsarja (ratkaisut)

2. tehtäväsarja (ratkaisut)

3. tehtäväsarja (ratkaisut)

4. tehtäväsarja (ratkaisut)

5. tehtäväsarja (ratkaisut)

6. tehtäväsarja (ratkaisut)

Kirjallisuus

Luentomoniste päivittyy kurssin edetessä. Nyt versio 5. maaliskuuta: koko kurssi.

Kurssi perustuu ainakin osittain kirjaan Christoph Thiele: "Wave Packet Analysis" (Amer. Math. Soc., Providence, 2006).

Ilmoittautuminen

Tule ensimmäiselle luennolle.