Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2015

Last modified by taskinen@helsinki_fi on 2024/03/27 10:23

Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2015

Luennoitsija

Ajankohtaista / Current

The grading of course is finished. You can see the results in Exactum 3th floor B corridor.

Kurssin perustietoja

Kurssin laajuus on 10 op. Luennot ovat viikoilla 3-9 ja 11-18 ma 14-16 ja to 10-12 C124, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia alkaen viikolla 4.

Kurssi kuuluu syventäviin opintoihin. Esitietovaatimuksina ovat yhden ja useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta, lineaarialgebra, metristen avaruuksien alkeet, mitta- ja integrointiteorian alkeet.

Funktionaalianalyysi on analyysiä ääretönulotteisissa vektoriavaruuksissa. Mielenkiinnon kohteena ovat esimerkiksi Banach-avaruudet eli täydelliset normiavaruudet, sekä lineaariset operaattorit näiden välillä. Tavallisimpia Banach-avaruuksia ovat erilaiset funktio- ja jonoavaruudet, esimerkiksi Sobolev-avaruudet. Lineaarisista operaattoreista ovat esimerkkeinä Fourier-muunnos, Laplace-operaattori ja siirto-operaattori

Todistamme kurssilla ``kolme funktionaalianalyysin peruslausetta'' sekä tutkimme Banach- ja Hilbert-avaruuksien ja niiden lineaaristen operaattoreiden perusominaisuuksia. Käsittelemme sovellusesimerkkejä. Banach- ja Hilbert-avaruuksia tarvitaan esimerkiksi

- Kompleksi- ja harmonisessa analyysissä. Hardy-ja Bergman-avaruudet, Fourier- ja Hilbert-muunnokset ovat näiden alojen yhteisiä tutkimuskohteita.

- Sovelletussa matematiikassa. Elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat tärkeimpiä matemaattisen mallinnuksen välineitä. Niiden teoria kirjoitetaan nykyään Hilbert-avaruuksien lineaaristen operaattorien kielellä.

- Matemaattisessa fysiikassa. Aikakehitystä fysikaalisissa systeemeissä kuvataan usein parabolisilla osittaisdifferentiaaliyhtälöillä, joiden ratkaisujen luonne riippuu oleellisesti elliptisen osan spektraaliominaisuuksista. Kvanttimekaniikka formuloidaan Hilbert-avaruuksien operaattoriteorian avulla.

Kurssin sisältö

Kurssin keskeinen sisältö koostuu Banach-ja Hilbert-avaruuksien sekä niiden lineaaristen operaattoreiden perusteista: Normiavaruus, täydellisyys, Banach-avaruus, konkreettiset esimerkit; Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälö; Hilbert-avaruus, ortogonaalinen projektio ja ortonormaalit kannat; rajoitettu lineaarinen operaattori; duaaliavaruus, Hahn-Banachin lauseet; Banach-Steinhausin lause; avoimen kuvauksen ja suljetun kuvaajan lauseet.

Lisäksi käsitellään: Optimointi Hilbert-avaruudessa; kompaktisuus ja kompaktit operaattorit; Fourier-sarjojen suppeneminen; Heikko derivaatta ja Sobolev-avaruus; Weierstrassin approksimaatiolause.

Ajan salliessa tutustutaan lyhyesti myös seuraaviin aiheisiin: Heikko topologia; projektiot Banach-avaruuksissa ja komplementoidut aliavaruudet; Banach-avaruuksien kannat; Fredholmin teoria; kompaktin itseadjungoidun operaattorin spektraaliesitys.

Luentopäiväkirja

Viikko 3: Normin indusoiman metriikan perusominaisuudet; esimerkkejä avaruudessa C(0,1)

Viikko 4: jonoavaruudet l^\infty, l^p, c, c_0, Hölderin epäyhtälö; esimerkkejä rajoitetuista lineaarisista operaattoreista

Viikko 5: jatkoa edelliseen; täydellinen normiavaruus eli Banach-avaruus, esimerkkeinä B(A,R), C(K), l^\infty

Viikko 6: Avaruuden l^p täydellisyys; sarjojen suppeneminen ja itseinen suppeneminen; Banachin kiintopistelause

Viikko 7: sisätulo- ja Hilbert-avaruus, ortogonaalinen projektio

Viikko 8: Ortogonaalinen projektio ja ortonormaali kanta.

Viikolla 9 kurssin luennot pitää prof. Massimo Lanza de Cristoforis (Univ. Padova). Luennot normaaliaikoina, mutta tiistaina 24.2 on ylimääräinen luento klo 12-14 sali B120. Aihe: Hahn-Banachin lause. / On the week Feb. 23-27 the lectures of the course are given by prof. Massimo Lanza de Cristoforis (Univ. Padova). The lectures follow the usual schedule, but on Tue Feb 24 we have an extra lecture at 12-14 in the auditorium B120. Topic:Hahn-Banach theorem.

Viikko 11: Fourier-sarjat.

Viikko 12: Sobolev avaruudet. Jatkuvien lineaaristen operaattoreiden avaruus.

Viikko 13: Banach-algebra, jatkuvan lineaarioperaattorin jatkaminen sulkeumaan, Neumannin sarja.

Viikko 14-15: Banach-Steinhausin lause, avoimen kuvauksen lause.

Viikko 16: Suljetun kuvaajan lause, l^p-avaruuksien dualiteetti.

Viikko 17: Fréchet-Rieszin lause, Lax-Milgramin lause, operaattorin transpoosi.

Kokeet ja laskuharjoitukset

Kaksi kurssikoetta. Ensimmäinen välikoe on pe 6.3. klo 13.00-15.00 sali A111. Koealue on luentomonisteen luvut 1-4 eli viikkojen 3-8 materiaali, sekä laskuharjoitukset 1-6./ The first exam is on Fri. March 6 at 13.00-15.00 in auditorium A111. Topic of the exam: material presented on the lectures until Feb. 20 and exercises 1-6.

Toinen välikoe on pe 8.5. klo 13.00-15.00 sali A111. Koealue on luentomonisteen luvut 5-10 eli viikkojen 9-18 materiaali, sekä laskuharjoitukset 7-12./ The second exam is on Fri. May 8th at 13.00-15.00 in auditorium A111. Topic of the exam: material presented on the lectures after Feb. 20 and exercises 7-12.

Kurssin suorittamiseksi on tavanomaisen yhteenlasketun minimipistemäärän lisäksi kummastakin kokeesta erikseen saatava minimipistemäärä 8/24. Laskuharjoituksien suorittamisesta voi saada lisäpisteitä, ks. linkki alla.

Laskuharjoituksien suhteen kurssilla kokeillaan uutta käytäntöä, jossa perinteisen laskuharjoituksen korvaa viikoittainen ohjaustilaisuus, ks. ohje. (Exercise instructions in English)