Äärellisulotteinen lineaarialgebra, syksy 2012

Luennoitsija

Aleksandr Pasharin

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Kuvaus

Nykymatematiikka on erittäin laaja tiede, johon mahtuu satoja eri aloja joilla on usein hyvin vähän yhteistä. On kuitenkin olemassa matematiikan osa-alueita, joiden perusteellista tuntemusta tarvitaan käytännössä jokaisella alalla, puhumattakaan matematiikan käytännön sovelluksista.

Liioittelematta voidaan sanoa, että yksi tärkeimpiä tällaisia "universaaleja" osa-alueita on äärellisulotteinen lineaarialgebra. Mitä tahansa matematiikkaa tutkit tai sovellatkin - enemmin tai myöhemmin törmäät lineaarialgebrallisiin menetelmiin. Niiden ymmärtämiseen ei lineaarialgebran peruskurssi läheskään riitä. Vastaan alkavat tulla duaaliavaruudet, ulkoalgebrat, alternoivat muodot, Cayley-Hamiltonit, ortogonaaliset matriisit, Jordanin normaalit muodot ja niin edelleen. Aloihin, joissa lineaarialgebraa sovelletaan jatkuvasti, kuuluvat muun muassa Analyysi, Differentiaaligeometria, Transformaatioryhmät, Algebrallinen Topologia, Homologinen Algebra, Differentiaalityhtälöt, Esitysteoria ja monet muut.

Siksi jokaisen matematiikan opiskelijan on suorastaan elintärkeää perehtyä äärellisulotteiseen lineaarialgebraan syvällisemmällä tasolla.

Tämän kurssin tarkoitus onkin olla lineaarialgebran jatkokurssi, jossa perehdytään juuri sellaiseen (äärellisulotteiseen) lineaarialgebraan, josta on käytännön hyötyä matematiikan opiskelussa ja tutkimisessa.

Keskitymme tällä kurssilla siis lähinnä äärellisulotteiseen lineaarialgebraan.  ’’Ääretönulotteistä’’ lineaarialgebraa tutkitaan mm. Funktionaalianalyysin kurssilla.

Kurssin rinnalla suositelemme myös kurssin Matriisilaskennan sovellukset, syksy 2012, joka sivuaa ja täydentää tämän kurssin sisältöä.

Kurssin alustava sisältö:

I. Johdanto: Laskutoimitukset, algebralliset oliot, algebralliset ominaisuudet. Ryhmät, renkaat, kunnat, modulit, vektoriavaruudet. Alistruktuurit ja homomorfismit. Tekijästruktuurit. Hajotelma- ja isomorfialauseet.

II. Äärellisulotteiset modulit: Kanta, vapaus, dimensio. Duaaliavaruudet. Suorat summat. Multilineaariset kuvaukset, alternoivat muodot, determinantti.

III. Äärellisulotteiset vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset niiden välillä: Invariantit avaruudet, ominaisavektorit, ominaisarvot. Yhteys polynomeihin. Algebrallisesti suljetut kunnat ja vektoriavaruudet niiden yli. Polynomialgebrat. Karakteristinen polynomi. Cayley-Hamiltonin lause. Jordanin normaali muoto.

IV. Sisätuloavaruudet: Reaali-ja kompleksiset sisätuloavaruudet. Duaaliavaruuden tulkinta ja adjunkti kuvaus. Symmetriset ja itse-adejungoidut operaattorit. Ortogonaaliset ja unitaariset kuvaukset. Normaalit operaattorit, diagonalisointiongelma. Positiivisesti definiitit operaattorit. Polaarinen esitys.

V. Modulit: Äärellisviritteiset Abelin ryhmät ja niiden hajotelmalause. Zornin lemma ja sovellukset: maksimaaliset ideaalit, kannan olemassaolo, dimension yksikäsitteisyys.

Esitietovaatimukset

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I-II tai vastaava lineaarialgebran peruskurssi. Algebra I:sta on hyötyä, sillä puhumme paljon yleisista algebrallisista olioista, mutta ei välttämätön.

Luentomateriaalia:

Johdanto - Algebralliset Struktuurit (päivitetty 27.9)
Äärellisulotteiset modulit (päivitetty viimeksi 17.10)
 Luku 3 - Äärellisulotteiset vektoriavaruudet.
3.1 - Invariantit aliavaruudet ja ominaisvektorit
3.2 - Polynomialgebra
3.3 - Polynomialgebran sovelluksia lineaarialgebrassa 
Luku 4 - Sisätuloavaruudet.
4.1 - Sisätulot - johdanto
4.2 - Adjungaatti ja unitaarisuus
4.3 - Normaalit operaattorit ja diagonalisointi
4.3 - Hermiittiset muodot ja polaarinen hajotelma 
Bonus:
Äärellisviritteisista Abelin ryhmistä
Zornin lemman sovelluksia lineaarialgebrassa

Kurssin Tiivistelmä

Lisämateriaali:
Kaisa Pohjonen - Algebrallisesti suljetuista kunnista

Laskuharjoitukset

Harjoitus 1    Ratkaisut 1 - tehtävät 2-5   Ratkaisut 1 - tehtävä 1
Harjoitus 2    Ratkaisut 2
Harjoitus 3    Ratkaisut 3
Harjoitus 4    Ratkaisut 4 
Harjoitus 5    Ratkaisut 5 
Harjoitus 6 - Tehtävät Harjoitus 6 - Vinkit ja ohjeet    Ratkaisut 6 
Harjoitus 7    Ratkaisut 7
Harjoitus 8    Ratkaisut 8 
Harjoitus 9    Ratkaisut 9 
Harjoitus 10  Ratkaisut 10
Harjoitus 11 Ratkaisut 11 
Harjoitus 12 Ratkaisut 12 
Harjoitus 13

Lisätehtävät (HUOM osat 2 ja 3 ilmestyneet).

Osa 1 
Osa 2 
Osa 3

Luentoajat

Viikot 36-42  ke 12-14, to 16-18 D123, viikot 44-50 ke 12-14 D123, to 16-18 B322 lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

HUOM! VIIKOLLA 49 LASKARIT POIKEUKSELLISESTI KE 5.11 8-10 SALISSA D123. Pe 7.11 ei laskareita siis.

HUOM! To 6.12 ei tietenkään ole luentoa (itsenäisyyspäivä), mutta seuraavan viikon tiistaina 11.12 ylimääräinen korvaava luento salissa D123 klo 14-16.
 To 13.12.12 luento on kertausluento.

Kokeet ja Suoritus

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskareista saa lisäpisteitä. Kurssi on myös mahdollista suorittaa esitelmällä (kysy luennoitsijalta).
 Lisäpisteitä (1 piste/10 tehtävä) saa myös tekemällä lisätehtäviä. Lisätehtäviä palautetaan kirjallisena luennoitsijalle. Palauttaa saa milloin vaan koko syksyn aikana joulun asti. Jos aiot tenttiä kurssin myöhemmin tammikuussa, voi tuoda tehtäviä myöhemminkin (eli tammikuun aikana).
 Huom, että lisätehtävien tekeminen on myös erittäin hyvä tapa valmistua kokeseen.

HUOM. Ensimmäinen mahdollisuus suorittaa kurssi tentillä on 18.12.2012 12-16 tiedekunnan yleistenttitilaisuudessa.
 Kurssin pääsee tenttimään myös tammikuun tentissä 24.1.2012. Laskareista saadut lisäpisteet vaikuttavat edelleen tammikuussa.
 Yleistentteihin ilmoittaudutaan kansliassa.

Kirjallisuus

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset