Wiki source code of Äärellisulotteinen lineaarialgebra, syksy 2012
Last modified by purisha@helsinki_fi on 2024/03/27 10:39
Show last authors
author | version | line-number | content |
---|---|---|---|
1 | = Äärellisulotteinen lineaarialgebra, syksy 2012 = | ||
2 | |||
3 | === Luennoitsija === | ||
4 | |||
5 | [[Aleksandr Pasharin>>doc:mathstatHenkilokunta.Pasharin, Aleksandr]] | ||
6 | |||
7 | === Laajuus === | ||
8 | |||
9 | 10 op. | ||
10 | |||
11 | === Tyyppi === | ||
12 | |||
13 | Syventävä opinto | ||
14 | |||
15 | === Kuvaus === | ||
16 | |||
17 | Nykymatematiikka on erittäin laaja tiede, johon mahtuu satoja eri aloja joilla on usein hyvin vähän yhteistä. On kuitenkin olemassa matematiikan osa-alueita, joiden perusteellista tuntemusta tarvitaan käytännössä jokaisella alalla, puhumattakaan matematiikan käytännön sovelluksista. | ||
18 | |||
19 | Liioittelematta voidaan sanoa, että yksi tärkeimpiä tällaisia "universaaleja" osa-alueita on äärellisulotteinen lineaarialgebra. Mitä tahansa matematiikkaa tutkit tai sovellatkin - enemmin tai myöhemmin törmäät lineaarialgebrallisiin menetelmiin. Niiden ymmärtämiseen ei lineaarialgebran peruskurssi läheskään riitä. Vastaan alkavat tulla duaaliavaruudet, ulkoalgebrat, alternoivat muodot, Cayley-Hamiltonit, ortogonaaliset matriisit, Jordanin normaalit muodot ja niin edelleen. Aloihin, joissa lineaarialgebraa sovelletaan jatkuvasti, kuuluvat muun muassa Analyysi, Differentiaaligeometria, Transformaatioryhmät, Algebrallinen Topologia, Homologinen Algebra, Differentiaalityhtälöt, Esitysteoria ja monet muut. | ||
20 | |||
21 | Siksi jokaisen matematiikan opiskelijan on suorastaan elintärkeää perehtyä äärellisulotteiseen lineaarialgebraan syvällisemmällä tasolla. | ||
22 | |||
23 | Tämän kurssin tarkoitus onkin olla lineaarialgebran jatkokurssi, jossa perehdytään juuri sellaiseen (äärellisulotteiseen) lineaarialgebraan, josta on käytännön hyötyä matematiikan opiskelussa ja tutkimisessa. | ||
24 | |||
25 | Keskitymme tällä kurssilla siis lähinnä äärellisulotteiseen lineaarialgebraan. ’’Ääretönulotteistä’’ lineaarialgebraa tutkitaan mm. Funktionaalianalyysin kurssilla. | ||
26 | |||
27 | Kurssin rinnalla suositelemme myös kurssin [[doc:mathstatKurssit.Syksy 2012.Matriisilaskennan sovellukset, syksy 2012.WebHome]], joka sivuaa ja täydentää tämän kurssin sisältöä. | ||
28 | |||
29 | ==== **Kurssin alustava sisältö:** ==== | ||
30 | |||
31 | I. Johdanto: Laskutoimitukset, algebralliset oliot, algebralliset ominaisuudet. Ryhmät, renkaat, kunnat, modulit, vektoriavaruudet. Alistruktuurit ja homomorfismit. Tekijästruktuurit. Hajotelma- ja isomorfialauseet. | ||
32 | |||
33 | II. Äärellisulotteiset modulit: Kanta, vapaus, dimensio. Duaaliavaruudet. Suorat summat. Multilineaariset kuvaukset, alternoivat muodot, determinantti. | ||
34 | |||
35 | III. Äärellisulotteiset vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset niiden välillä: Invariantit avaruudet, ominaisavektorit, ominaisarvot. Yhteys polynomeihin. Algebrallisesti suljetut kunnat ja vektoriavaruudet niiden yli. Polynomialgebrat. Karakteristinen polynomi. Cayley-Hamiltonin lause. Jordanin normaali muoto. | ||
36 | |||
37 | IV. Sisätuloavaruudet: Reaali-ja kompleksiset sisätuloavaruudet. Duaaliavaruuden tulkinta ja adjunkti kuvaus. Symmetriset ja itse-adejungoidut operaattorit. Ortogonaaliset ja unitaariset kuvaukset. Normaalit operaattorit, diagonalisointiongelma. Positiivisesti definiitit operaattorit. Polaarinen esitys. | ||
38 | |||
39 | V. Modulit: Äärellisviritteiset Abelin ryhmät ja niiden hajotelmalause. Zornin lemma ja sovellukset: maksimaaliset ideaalit, kannan olemassaolo, dimension yksikäsitteisyys. | ||
40 | |||
41 | === Esitietovaatimukset === | ||
42 | |||
43 | Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I-II tai vastaava lineaarialgebran peruskurssi. Algebra I:sta on hyötyä, sillä puhumme paljon yleisista algebrallisista olioista, mutta ei välttämätön. | ||
44 | |||
45 | === Luentomateriaalia: === | ||
46 | |||
47 | [[Johdanto - Algebralliset Struktuurit >>attach:01 - Algebralliset struktuurit.pdf]](päivitetty 27.9) | ||
48 | [[Äärellisulotteiset modulit >>attach:Linis II Luku 2.pdf]](päivitetty viimeksi 17.10) | ||
49 | Luku 3 - Äärellisulotteiset vektoriavaruudet. | ||
50 | [[3.1 - Invariantit aliavaruudet ja ominaisvektorit>>attach:Linis II 3.1.pdf]] | ||
51 | [[3.2 - Polynomialgebra>>attach:polynomialgebra.pdf]] | ||
52 | [[3.3 - Polynomialgebran sovelluksia lineaarialgebrassa >>attach:polynomialgebran sovelluksia.pdf]] | ||
53 | Luku 4 - Sisätuloavaruudet. | ||
54 | [[4.1 - Sisätulot - johdanto>>attach:sisatulo_1.pdf]] | ||
55 | [[4.2 - Adjungaatti ja unitaarisuus>>attach:02 - Adjungaatti ja unitaarisuus.pdf]] | ||
56 | [[4.3 - Normaalit operaattorit ja diagonalisointi>>attach:4.3Normaalit.pdf]] | ||
57 | [[4.3 - Hermiittiset muodot ja polaarinen hajotelma >>attach:4.4 Hermiittiset.pdf]] | ||
58 | Bonus: | ||
59 | [[Äärellisviritteisista Abelin ryhmistä>>attach:5-Abelin ryhmat.pdf]] | ||
60 | [[Zornin lemman sovelluksia lineaarialgebrassa>>attach:Zorn.pdf]] | ||
61 | |||
62 | [[Kurssin Tiivistelmä>>attach:Tiivistelma.pdf]] | ||
63 | |||
64 | Lisämateriaali: | ||
65 | [[Kaisa Pohjonen - Algebrallisesti suljetuista kunnista>>attach:esitelma.pdf]] | ||
66 | |||
67 | === Laskuharjoitukset === | ||
68 | |||
69 | [[Harjoitus 1 >>attach:harj1.pdf]] [[Ratkaisut 1 - tehtävät 2-5>>attach:harj_1_ratkaisu.pdf]] [[Ratkaisut 1 - tehtävä 1>>attach:harj_1_ratkaisu_teht_1.pdf]] | ||
70 | [[Harjoitus 2 >>attach:harj2.pdf]] [[Ratkaisut 2>>attach:harj_2_ratkaisu.pdf]] | ||
71 | [[Harjoitus 3 >>attach:harj3.pdf]] [[Ratkaisut 3>>attach:harj_3_ratkaisu.pdf]] | ||
72 | [[Harjoitus 4 >>attach:harj4.pdf]] [[Ratkaisut 4 >>attach:harj_4_ratkaisu.pdf]] | ||
73 | [[Harjoitus 5 >>attach:harj5.pdf]] [[Ratkaisut 5 >>attach:harj_5_ratkaisu.pdf]] | ||
74 | [[Harjoitus 6 - Tehtävät>>attach:harj6.pdf]] [[Harjoitus 6 - Vinkit ja ohjeet >>attach:harj 6 - vinkkejä.pdf]] [[Ratkaisut 6 >>attach:harj_6_ratkaisu.pdf]] | ||
75 | [[Harjoitus 7 >>attach:harj7.pdf]][[Ratkaisut 7>>attach:harj_7_ratkaisu.pdf]] | ||
76 | [[Harjoitus 8 >>attach:harj8.pdf]][[Ratkaisut 8 >>attach:harj_8_ratkaisu.pdf]] | ||
77 | [[Harjoitus 9 >>attach:harj9.pdf]][[Ratkaisut 9 >>attach:harj_9_ratkaisu.pdf]] | ||
78 | [[Harjoitus 10 >>attach:harj10.pdf]][[Ratkaisut 10>>attach:harj_10_ratkaisu.pdf]] | ||
79 | [[Harjoitus 11 >>attach:harj11.pdf]][[Ratkaisut 11 >>attach:harj_11_ratkaisu.pdf]] | ||
80 | [[Harjoitus 12 >>attach:harj12.pdf]][[Ratkaisut 12 >>attach:harj_12_ratkaisu.pdf]] | ||
81 | [[Harjoitus 13>>attach:harj13.pdf]] | ||
82 | |||
83 | === Lisätehtävät (HUOM osat 2 ja 3 ilmestyneet). === | ||
84 | |||
85 | [[Osa 1 >>attach:lisateht_1.pdf]] | ||
86 | [[Osa 2 >>attach:lisateht_2(1).pdf]] | ||
87 | [[Osa 3>>attach:lisateht_3(1).pdf]] | ||
88 | |||
89 | === Luentoajat === | ||
90 | |||
91 | Viikot 36-42 ke 12-14, to 16-18 D123, viikot 44-50 ke 12-14 D123, to 16-18 B322 lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. | ||
92 | |||
93 | HUOM! VIIKOLLA 49 LASKARIT POIKEUKSELLISESTI KE 5.11 8-10 SALISSA D123. Pe 7.11 ei laskareita siis. | ||
94 | |||
95 | HUOM! To 6.12 ei tietenkään ole luentoa (itsenäisyyspäivä), mutta seuraavan viikon tiistaina 11.12 ylimääräinen korvaava luento salissa D123 klo 14-16. | ||
96 | To 13.12.12 luento on kertausluento. | ||
97 | |||
98 | === Kokeet ja Suoritus === | ||
99 | |||
100 | Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskareista saa lisäpisteitä. Kurssi on myös mahdollista suorittaa esitelmällä (kysy luennoitsijalta). | ||
101 | Lisäpisteitä (1 piste/10 tehtävä) saa myös tekemällä lisätehtäviä. Lisätehtäviä palautetaan kirjallisena luennoitsijalle. Palauttaa saa milloin vaan koko syksyn aikana joulun asti. Jos aiot tenttiä kurssin myöhemmin tammikuussa, voi tuoda tehtäviä myöhemminkin (eli tammikuun aikana). | ||
102 | Huom, että lisätehtävien tekeminen on myös erittäin hyvä tapa valmistua kokeseen. | ||
103 | |||
104 | HUOM. Ensimmäinen mahdollisuus suorittaa kurssi tentillä on 18.12.2012 12-16 tiedekunnan yleistenttitilaisuudessa. | ||
105 | Kurssin pääsee tenttimään myös tammikuun tentissä 24.1.2012. Laskareista saadut lisäpisteet vaikuttavat edelleen tammikuussa. | ||
106 | Yleistentteihin ilmoittaudutaan kansliassa. | ||
107 | |||
108 | === Kirjallisuus === | ||
109 | |||
110 | === [[Ilmoittaudu>>url:https://oodi-www.it.helsinki.fi/hy/opintjakstied.jsp?html=1&Tunniste=57072||shape="rect"]] === | ||
111 | |||
112 | Unohditko ilmoittautua? [[Mitä tehdä>>doc:mathstatOpiskelu.Kysymys4]]. | ||
113 | |||
114 | === Laskuharjoitukset === | ||
115 | |||
116 | |=((( | ||
117 | Ryhmä | ||
118 | )))|=((( | ||
119 | Päivä | ||
120 | )))|=((( | ||
121 | Aika | ||
122 | )))|=((( | ||
123 | Paikka | ||
124 | )))|=((( | ||
125 | Pitäjä | ||
126 | ))) | ||
127 | |((( | ||
128 | 1. | ||
129 | )))|((( | ||
130 | pe | ||
131 | )))|((( | ||
132 | 8-10 | ||
133 | )))|((( | ||
134 | D123 | ||
135 | )))|((( | ||
136 | Aleksandr Pasharin | ||
137 | ))) |