Funktionaalianalyysi II, kevät 2014

Last modified by taskinen@helsinki_fi on 2024/03/27 10:20

Funktionaalianalyysi II, kevät 2014

Luennoitsija

Ajankohtaista / Important!

Kurssin perustietoja

Kurssin laajuus on 10 op. Se kuuluu syventäviin opintoihin. Esitietoina tarvitaan hyvät analyysin ja metristen avaruuksien perustiedot, sekä tutustuminen Lebesguen mitta- ja integrointiteorian sekä funktionaalianalyysin alkeisiin. Funktionaalianalyysin peruskurssin suorittaminen on tietysti avuksi mutta ei täysin välttämätöntä.
Kummankin periodin lopussa on kurssikoe. Laskuharjoitusryhmää ei ole, mutta kurssiin liittyy luennoilla jaettavia kotilaskuja, joista voi saada lisäpisteitä.

Kurssin sisältö

Kurssin teema on Funktionaalianalyysin sovellutukset. Keskeiset aihepiirit ovat distribuutioteoria, Sobolev-avaruudet ja elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöt (ODY).

Distribuutioteoriassa määritellään Diracin mitat, joita sanotaan myös yleistetyiksi funktioiksi. Esimerkiksi reaaliakselin pisteen 0 Diracin mittaa voidaan havainnollistaa ko. pisteeseen keskittyneellä, ykkösen suuruisella massalla. Diracin mittojen avulla voidaan esimerkiksi derivoida epäjatkuvia funktioita ns. distribuutioderivaattoina. Distribuutioderivaatat puolestaan liittyvät ODY:jen heikkoihin (tai yleistettyihin) ratkaisuihin, ja niillä on keskeinen rooli monissa ODY:jen ratkaisumenetelmissä.

Sobolev-avaruudet muodostuvat funktioista, joiden distribuutioderivaatat kuuluvat sopiviin Lp-avaruuksiin. Sobolev-avaruusmenetelmä elliptisille ODY-reunaongelmille on yksinkertaisessa erikoistapauksessa hahmoteltu Funktionaalianalyysin peruskurssilla, mutta tällä kurssilla käydään asiat läpi yksityiskohtaisemmin ja yleisemmissä, sovellutusten kannalta kiinnostavissa tapauksissa. Aikaisempiin kursseihin verrattuna on tiedossa uutta materiaalia liittyen keskeisiin elliptisten ODY:jen spektraaliongelmiin

Fourier-muunnos on lineaaristen ODY:jen klassinen perustyökalu, sillä esimerkiksi lineaarisen lämpöyhtälön Cauchyn probleema ratkeaa triviaalisti ottamalla Fourier-muunnos. Fourier-muunnoksen käsittelyssä tarvitaan myös distribuutioteoriaa: vakiofunktion Fourier-muunnos on pisteen 0 Diracin mitta kertaa normitusvakio.

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 14-16 ja to 10-12 C124.

Pääsiäisloma 17.-23.4.

Materiaali

Luentomuistiinpanot, paperikopio on nähtävissä huoneessa C326.

Oheiskirjallisuutena voi tutustua seuraaviin:
Adams: Sobolev spaces.
Barros-Neto: Introduction to the theory of distributions.
Brezis: Analyse fonctionelle.
Edmunds-Evans: Spectral theory and differential operators.
Horvath: Topological vector spaces and distributions.
Reed-Simon: Methods of modern mathematical physics II.
Rudin: Functional analysis.