Todennäköisyysteoria I, syksy 2013

Luennoitsija 

Dario Gasbarra
 

Laajuus

5 op.

Kurssit Todennäköisyysteoria I ja II yhdessä vastaavat tutkintovaatimuksissa esiintyvää 10 op:n kurssia Todennäköisyysteoria. Todennäköisyysteoria II luennoidaan toisella periodilla. Keväällä luennoidaan Todennäköisyysteoria III jossa käsitellään jakaumien konvergenssia.  

 Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Analyysi I-II; Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I; Vektorianalyysi.

Hyödyllisiä kursseja (muttei tarvita varsinaisesti esitiedoiksi): Johdatus todennäköisyyslaskentaan; Funktionaalianalyysin peruskurssi; Mitta ja integraali.

Luentoajat

Viikot 36-42 ti 10-12 C124 ja to 10-12 C124, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia ke 10-12 C122.

Laskupaja-toiminta

Tiistaisin kello 13-15  III kerroksen käytävällä. Dario tai Juhani päivystävät ja neuvovat harjoitustehtävien laskemisestä. 

Kokeet

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskuharjioituksiin osallistuminen ei ole pakollinen. Opiskelijan atkiivinen osallistuminen nostaa arvosanaa. 

 Kurssikokeen koealue. Tenttipaperi ja malliratkaisut (30.10.2013). Tenttitulokset 

 Uusintakokeen tenttipaperi ja malliratkaisut (14.11.2013) . Kurssikokeen uusinta: tiistaina 17.12 yleistenttintilaisuudessa.

Sisältö

Johdanto: Miksi todennäköisyydet ovat additiivisia ? De Finettin rahoitusteoreettinen  tulkinta: todennäköisyys on hinta.
 Todennäköisyys ja satunnaismuuttujat: σ-algebrat, Kolmogorovin aksioomat. Todennäköisyys-mitan laajennus ja Dynkinin lause.Sovellus: tulo  σ-algebra ja tulo mitta. Satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat, kertymäfunktio, tiheysfunktio.

Poissonin, Eksponentiaalinen ja Gaussinen jakaumat. Moniulotteinen Gaussinen jakauma. Monotonisen luokan lause. Charatheodoryn laajennus lause. Sovellus: Kolmogorovin laajennus lause ääretön-ulotteisessa tuloavaruudessa, stokastiset prosessit.  Riippumattomus, Borel-Cantellin lemmat. Esimerkki: Markovin ketjun konstruktio.

 Satunnaismuuttujen jonon melkein varma konvergenssi. Odotusarvo. Lebesgue-Stieltjes Riemannin-Stieltjes integraalin yleistyksenä.  Monotonisen konvergenssin lause, Fatou lemma, Lebesguen dominoidun konvergenssin lause.  Todennäköisyysmitan vaihto-kaava, uskottavuusosamäärä, Lebesguen hajotelma. Elementaarinen ehdollinen todennäköisyys. Fubinin lause ja tulo-integraali,osittaisintegroinnin kaava.

Stokastinen konvergenssi. Chebychevin epäyhtälö ja heikko suurten lukujen laki. Johdatus Cramerin suurten poikkeamien teoriaan. Momentti generoiva funktio. Konveksin analyysin alkeita, Jensenin epäyhtälö, Legendren muunnos. Cramerin lause.

Opetusmateriaalit

luennoitsijan luentomoniste  (päivitetty 28.11.2013), harjoitustehtävät 

Vaapasti saatavissa luentomonisteet:

T. Sottinen:  Todennäköisyysteoria, 2006.

E. Valkeila: Todennäköisyysteoria, 2001. 

Vanhat todennäköisyysteorian kurssisivut: kevät 2009 syksy 2009, syksy 2012 Vanhat koepaperit

Kirjallisuus

G. Elfving - P. Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II, Limes.

J.Jacod- P.Protter: Probability Essentials.

D. Williams: Probability with Martingales.

Suositellaan myös

E. Çinlar: Probability and Stochastics, Springer Graduate Texts in Mathematics, 2011.

O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability.

L. Koralov, Y. Sinai: Theory of Probability and Random Processes, Springer 2007.

P Malliavin, H Airault, L Kay, G Letac: Integration and Probability

A.N. Shiryaev: Probability.

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset