Todennäköisyysteoria II, syksy 2013

Luennoitsija 

Dario Gasbarra
 

Laajuus

5 op.

Todennäköisyysteoria I ja II yhdessä vastaavat tutkintovaatimuksissa esiintyvää 10 op:n kurssia Todennäköisyysteoria. Todennäköisyysteorian I luennoidaan ensimmäisellä periodilla.Keväällä luennoidaan Todennäköisyysteoria III jossa käsitellään jakaumien konvergenssia.  

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Todennäköisyysteoria I tai Mitta ja integraali (esitietoineen). 

Luentoajat

Viikot 44-50 ti 10-12 ja to 10-12 luokassa C124 , lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia ke 10-12 C122.

Laskupaja-toiminta

Tiistaisin kello 13-15  III kerroksen käytävällä. Dario tai Juhani päivystävät ja neuvovat harjoitustehtävien laskemisestä. 

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskuharjioituksiin osallistuminen ei ole pakollinen. Opiskelijan atkiivinen osallistuminen nostaa arvosanaa. 

Kurssin loppukoe ajankohta on keskiviikkona 18.12, kello 9.00-13.00 luokassa B120. Seuraava koetilaisuus on 23.1.2014 yleistenttitilaisuudessa.

Sisältö

L^p(Ω) avaruudet: Epäyhtälöt : Jensen, Cauchy-Schwartzin, Hölder ja Minkowski. L^p avaruuden täydellisuus. Tasainen integroituvuus ja  L¹ konvergenssin karakterisaatio. L² teoria: Suunnikkaan ja polarisaatio identiteetti. Ortogonaalisuus ja projektio.

Ehdollinen odotusarvo: Ehdollinen odotusarvo L²-projektiona.Kolmogorovin määritelmä L¹ avaruudessa. Ehdollinen odotusarvo mittojen Radon-Nikodymin derivaattana. Ehdollisen odotusarvon ominaisuudet . Säännöllinen ehdollinen todennäköisyys ja ytimet .Ehdollisen odotusarvon laskenta riippumattomuuden oletuksen nojalla.Ehdollisen odotusarvon laskenta mitan-vaihdon avulla: Bayesin kaava.

Filtraatiot  ja Martingaalit. Martingaali muunnos. Pysäytys-hetki. Doobin etuperäinen martingaali konvergenssi lause. Tasaisesti integroituvat martingaalit.Doobin takaperäinen martingaali-konvergenssi lause. Kolmogorovin 0-1 laki ja vahva suurten lukujen laki. Vaihdettavuus ja De Finettin lause. L² martingaalit. Doobin hajotelma. Doobin optionaalisen otannan ja pysäytys-lauseita. Mitan vaihto kaavat ja Radon-Nikodymin lause. Uskottavuus osamäärän prosessi. Martingaalin maksimaaliset epäyhtälöt.Sovellus: Black ja Scholesin optio-hinnoittelu kaava binomi-puu markkinamallissa.

Opetusmateriaalit

luennoitsijan luentomoniste  (päivitetty 28.11.2013) laksuharjoitukset ja malliratkaisut

Vaapasti saatavissa luentomonisteet:

T. Sottinen:  Todennäköisyysteoria, 2006.

E. Valkeila: Todennäköisyysteoria, 2001. 

Vanhat todennäköisyysteorian kurssisivut: kevät 2009 syksy 2009, syksy 2012 Vanhat koepaperit

Kirjallisuus

G. Elfving - P. Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II, Limes.

J.Jacod- P.Protter: Probability Essentials.

D. Williams: Probability with Martingales.

Suositellaan myös

E. Çinlar: Probability and Stochastics, Springer Graduate Texts in Mathematics, 2011.

O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability.

L. Koralov, Y. Sinai: Theory of Probability and Random Processes, Springer 2007.

P Malliavin, H Airault, L Kay, G Letac: Integration and Probability

A.N. Shiryaev: Probability.

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset