Luentopäiväkirja (kurssille opettajalinjan työpaja (Topologia I) syksyllä 2012)

Ensimmäinen opetusviikko (kalenteriviikko 36)

Tiistai 4.9.

• Aloitimme kurssin ja kävimme läpi käytännön asioita. Esitetyt käytännön asiat löytyvät kurssin kotisivulta.
• Kävimme läpi kurssin motivaatiota. Tärkeimpinä motivaatiokohtina lienivät seuraavat ajatukset:
  • Topologia on kärjistettynä jatkuvuuden tutkimista.
    • Jatkuvuus ja siihen liittyvät lieveilmiöt ovat voimakkaita ja hyödyllisiä tekniikoita matematiikassa, ja niistä on paljon hyötyä myöhemmillä kursseilla.
    • Mikäli ymmärtää jatkuvuuden metristen avaruuksien välillä, voi asettaa reaalifunktioiden jatkuvuuden paljon laajempaan kontekstiin. Tällöin sen ymmärrys on paljon tukevammalla pohjalla, ja sitä on miellyttävämpää opettaa.
  • Sama pätee myös lukujonoihin, joita kurssilla käsitellään.
• 'Kertasimme' hieman joukko-oppia. Luennoitsijan jakamat lämmittelytehtävät olivat aivan turhan vaikeita koska luennoitsijalla oli epäinhimillisiä oletuksia opiskelijoiden esitiedoista. Luennoitsijan erhe korjataan, ja opetusfilosofiaan sekä -tyyliin tulee muutos.
• Määrittelimme metriikan käsitteen metriikkaehdokkaiden avulla.

Torstai 6.9.

• Tutustuimme ryhmätöiden kautta normin käsitteeseen, emme kaikki ehtineet vielä käsittelemään sitä, miten normista saadaan aikaan metriikka. Ryhmätöitä tehtiin seuraavan kirjoitelman perusteella. Johdatus normeihin Materiaaliin on lisätty todistus sille, että Manhattan-normi toteuttaa normin määritelmän ehdon (N2).

• Jaoin todistuksen sille, että Manhattan-etäisyys on metriikka tasossa avuksi tämän viikon laskareihin.

Perjantai 7.9.

• Kävimme läpi ensimmäisen viikon laskuharjoitukset.

• Kerroin tiivistelmän tähänastisesta palautteesta. Tiivistelmästä on nyt kirjoitettu versio

• Puhuttiin hieman torstaina käydyistä normiin liittyvistä asioista.

Toinen opetusviikko (kalenteriviikko 37)

Maanantai 10.9.

• Kävimme kertaavasti läpi käsitteet
  • Vektoriavaruus
  • Sisätuloavaruus
  • Normiavaruus

• Todistimme, että sisätulon indusoima normi toteuttaa normin ehdot.
• Todistimme, että normin indusoima metriikka toteuttaa metriikan ehdot.
• Määrittelimme pallo(kuore)n.

Tiistai 11.9.

• Määrittelimme kahden joukon etäisyyden (määritelmä 2.9. kirjassa) sekä totesimme, että kyseessä ei ole metriikka. Määrittelimme myös pisteen etäisyyden joukosta. Totesimme, että kurssilla voi infimumia (supremumia) ajatella 'virtuaalisena miniminä (maksimina)'.
• Määrittelemme joukon halkaisijan (läpimitan), tämä on kirjan määritelmä 2.11.
• Määrittelimme rajoitetun joukon.
• Määrittelimme lukujonon sekä sen suppenemisen. (Määritelmät 11.1. ja 11.2. kirjassa.)
• Todistimme, että lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen (kirjan lause 11.4.)

Torstai 13.9.

• Käytiin läpi muutama esimerkki jonojen suppenemisesta. Näistä kirjoitin kirjoitelman .

Kolmas opetusviikko (kalenteriviikko 38)

Maanantai 17.9.

• Määriteltiin jatkuvuus (kirjan määritelmä 4.1.) ja käytiin läpi pari esimerkkiä.

• Tässä kirjoitelma esimerkkejä jatkuvista ja epäjatkuvista kuvauksista (Päivitetty 23.9.2012).

• Todistettiin jatkuvuuden jonokarakterisaatio, josta tein kirjoitelman.

Tiistai 18.9.

• Käytettiin luento diskreetistä metriikasta puhumiseen.

• Tutkittiin mitä käy kuvauksen jatkuvuudelle, kun lähtö- tai maalipuolella on diskreetti metriikka.
  aiempiin jatkuvuusesimerkkeihin on lisätty diskreettisyys-esimerkkejä.

Torstai 20.9.

• Määriteltiin Lipschitz-kuvaus ja huomatiin että se säilyttää joukon rajoittuneisuuden toisin kuin jatkuva kuvaus.

Perjantai 21.9.

• Käytiin läpi laskaritehtävät, kerroin hieman dataa annetusta palautteesta. Tästä myöhemmin tiivistelmä.

Neljäs opetusviikko (kalenteriviikko 39)

Maanantai 24.9.

• Todistettiin, että Lipschitz-kuvaus on jatkuva, tämä on kirjan lause 4.5.

• Määriteltiin avoin joukko. Kirjan määritelmä 3.1. Käytiin läpi muutama esimerkki avoimuudesta, toinen oli lause 3.2.., toisesta on kirjoitelma.

Tiistai 25.9.

• Käytiin läpi esimerkkejä avoimuudesta, näistä kirjoitelma (Päivitetty 1.10.).

• Todistettiin, että kahden avoimen joukon yhdiste ja leikkaus ovat avoimia.

Torstai 27.9.

• Määriteltiin avaruuden topologia ja katsottiin paria esimerkkiä aiheeseen liittyen.

Perjantai 28.9.

• Käytiin läpi laskuharjoítukset. Mallit ilmestynevät viikonlopun aikana.

Viides opetusviikko (kalenteriviikko 40)

Maanantai 1.10.

• Määriteltiin joukon ympäristö, kirjassa määritelmä 3.8.

• Määriteltiin jonon suppeneminen ympäristöjen avulla ja näytettiin että tämä määritelmä on yhtäpitävä aiemman kanssa. Tämä vastaa suunnilleen kirjan määritelmää 11.2. sekä lauseen 11.3. kohtaa "(1) joss. (3)".

• Määriteltiin erakkopiste, diskreetti joukko ja -avaruus, kirjassa määritelmä 3.12.

Tiistai 2.10.

• Käytännön asioita kokeesta yms. Näistä myöhemmin tekstiä.

• Osajoukon metriikka (kirjassa 2.4.).

• Jatkuvuuden karakterisointi avoimuuden avulla (kirjan lauseet 4.7. ja 4.8.). Lauseen 4.8. toinen suunta jäi kesken, käsitellään torstaina.

Torstai 4.10.

• Luku 5, paitsi että projektioiden jatkuvuus todistettiin vaan tapauksessa, jossa käytössä on Euklidinen avaruus
   sekä Manhattan-, Euklidinen- tai Chebyshev-normin indusoima metriikka.

Viides opetusviikko (kalenteriviikko 41)

Maanantai 8.10.

• Käytiin läpi esimerkin 5.7.2 kaltainen todistus.

• Määriteltiin reunapiste ja todistettiin, että joukko on avoin jos ja vain jos se ei sisällä yhtään reunapistettä.

Tiistai 9.10.

• Koottiin yhteen tähän asti käytyjä asioita.

Torstai 11.10.

• Kerrattiin paperin 'mahdollisia koetehtäviä' pohjalta.

Perjantai 12.10.

• Käytiin läpi laskaritehtävät.

Kuudes opetusviikko (kalenteriviikko 44)

Maanantai 29.10.

• Kerrattiin, käytiin läpi palautetta sekä kakkosperiodin ohjelmaa.

Tiistai 30.10.

• Käytiin läpi joukkomonisteen (löytyy pääsivulta) määritelmät 1-5, huomautus 6, sekä esimerkit 7-9. Lauseet 10-14 käydään läpi torstaina, opiskele niitä ennen sitä.

Takaisin kotisivulle .