Mitta ja integraali, kevät 2015

Luennoitsija 

Anssi Mirka, (Huone B315)

Kurssiassistentit

Olli Tapiola ja Esko Heinonen. Lisäksi opintopiiriä pyörittää Olli-Pekka Lindström.

Laajuus

6 op.

Tyyppi

Aineopintoja, pakollinen kurssi matematiikan yleisen linjan aineopinnoissa.

Esitietovaatimukset

Yhden ja useamman muuttujan integraalilaskenta (kurssit Analyysi I, Analyysi II ja Vektorianalyysi) ja Topologia I. Olli Tapiolan kokoama täsmällisempi kuvaus vaatimuksista löytyy täältä.

Motivaatiota

Kyllä, mitta/integrointi-teoria on keskeinen työkalu modernissa analyysissä; kyllä, se äärimmäisen hyödyllinen integraalien raja-arvojen laskussa; ja kyllä, sillä voi integroida yleisempiä funktioita kuin Riemann-integraalilla. Mutta ennen kaikkea, se on kaunista. Ja loppujen lopuksi, se on jopa yksinkertaista. Varoitus on kuitenkin paikallaan: Ensikertalaiselle mittateoria tulee näyttäytymään lannistavan monimutkaisena. Se sisältää valtavasti uusia käsitteitä ja todistusten ideat tuntuvat välillä hautautuvan yksityiskohtien alle. 

Kurssilla on siis kaksi lähes vastakohtaista ilmentymää: yksinkertainen kauneus ja monimutkainen yksityiskohtaisuus. Mutta juuri siksi Mitta ja Integraali tarjoaa sinulle täydellisen mahdollisuuden kehittyä matemaatikkona uudelle tasolle. Anna minun selittää mitä tarkoitan. Matematiikka ei voi olla pelkkää käsienheiluttelua, olkoon kuinka esteettistä tahansa. Mutta se ei myöskään voi jäädä pelkäksi yksityiskohtiin tuijottamiseksi. Todellinen matemaattinen kypsyys mitataankin kyvyssä liikkua suluvasti näiden kahden täsmällisyyden tason välillä; kyvyssä erottaa suuren luokan ideat trivialilteeteista, ja toisaalta, tarpeen tullen, taidossa täyttää intuition ylenkatsomat loogiset aukot.

Haaste: Opettele käyttämään hyödyksi molempia ilmentymiä. Taito on universaali suunnistettaessa matematiikan maailmassa. Pelkät alkeetkin tulevat pitkällä tähtäimellä olemaan monin verroin hyödyllisempiä kuin mikään tulos mitä kurssilla on tarjota. Lisäksi se tekee kaikesta paljon hauskempaa. Omasta mielestäni Mitta ja Integraali on paras yksittäinen kurssi harjoittaa tätä  korvaamatonta jaloa taitoa. Lupaan tehdä kaikkeni, jotta työsi palkitaan ja nautit siitä -- niin tosiaan, muista nauttia, se vapauttaa luovuutesi paremmin kuin suorittaminen.

        -Anssi

Ydinaines

Lebesguen ulkomitta Rn:ssä
Mitalliset joukot (Caratheodoryn ehto, numeroituvan yhdisteen/leikkauksen mitallisuus)
Mitalliset kuvaukset, rajafunktion mitallisuus
Lebesguen integraali (yksinkertaiset funktiot, ei-negatiiviset mitalliset funktiot, integroituvat funktiot)
Konvergenssilauseet (monotonisen konvergenssin lause, Fatoun lemma, dominoidun konvergenssin lause)

Täydentävä tietous

Sigma-algebrat
Borel-joukot
Yleinen mitta-avaruus
Mittojen konvergenssi
Ei-mitallinen joukko
Fubinin lauseet

Luentoajat

Viikot 3-9 ti 12-14 ja to 9-12 CK112. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Kokeet

Kurssi suoritetaan Kurssikokeella, mutta koetilaisuutena toimii yleistentti (Linkki: Yleistentit). Ensimmäinen tilaisuus on 12.3. klo 16-20 (Ilmoittautuminen päättyy 4.3). Toinen mahdollisuus on 12.5 klo 12-16 (Ilmoittautuminen päättyy 4.5). Sinun pitää ilmoittautua yleistenttiin itse ja sinun pitää olla ilmoittautunut tälle kurssille voidaksesi ilmoittautua.   Tenttiin saa ottaa mukaan seuraavan muistilistan kurssin tärkeimmistä määritelmistä. Oleellisempaa on osata soveltaa niitä: Muistilista (Korjattu korjattu versio. Lebesgue integraalin määritelmässä oli häikkää.)

Kirjallisuus

Aikaisemmin käytettyyn kurssimateriaaliin tulee muutoksia. Uusittu kurssimateriaali kokonaisuudessaan on valmis: Mitta Integraali, 2015 Viimeinen luku eli Fubinin lauseet on vapaaehtoista materiaalia.  

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Laskuharjoituksissa kokeillaan uutta käytäntöä joka lisää kommunikaatiota ja kannustaa tutustumaan kurssimateriaaliin etukäteen. Ensimmäinen tunti käytetään edellisen viikon harjoitusten tarkistamiseen ja tämä tapahtuu ryhmissä assistentin avustuksella. Toisella tunnilla tutustutaan tulevan viikon tehtäviin; niitä kannattaa vilkaista jo etukäteen verran jos haluaa hyötyä assistentin neuvoista.

   Pisteytys: 

Laskaripisteistä palkitaan tenttipisteillä seuraavan taulukon mukaisesti:

Laskareissa palkitaan tehtyjen tehtävien lisäksi läsnäolosta seuraavasti: jokainen käyntikerta tuo edellisen taulukon prosentteja kaksi prosenttia alaspäin. Eli yhden läsnäolon jälkeen rajat ovat 43, 58, 73 ja 88; kahden läsnäolon jälkeen 41, 56, 71 ja 86, jne.  Vaikka pisteytys kenties vaikuttaa monimutkaiselta niin käytännön strategia on yksinkertainen: tehkää tehtäviä ja käykää harjoituksissa niin pisteitä ropisee.

   Laskupaja 

Tiistaisin klo. 10-12 luokassa BK106. 

Harjoitus 1         

• • ===

Harjoitus 2         

• • ===

Harjoitus 3         

• • ===

Harjoitus 4         

• • ===

Harjoitus 5         

• • ===

Harjoitus 6        

• • ===

Harjoitus 7       

• • ===

• • ===