Laskutoimitukset

Hallitsee matriisien laskutoimitukset.

Osaa määrittää annettujen joukkojen yhdisteen, leikkauksen ja karteesisen tulon.

Osaa käsitellä kuvauksia ja tarkastella niiden ominaisuuksia (injektiivisyys, surjektiivisuus, bijektiivisyys, kääntyvyys).

Osaa tutkia annetun laskutoimituksen ominaisuuksia (vaihdannaisuus, liitännäisyys, neutraalialkio, alkioiden käänteisalkiot).

Osaa tutkia, määrittääkö annettu ehto laskutoimituksen vai ei.

Ryhmät

Tuntee vektoriavaruuden ja aliavaruuden määritelmät.

Pystyy päättelemään, onko luku jaollinen toisella luvulla. Osaa laskea jakojäännöksiä.

Osaa laskea kompleksiluvuilla ja tuntee niiden eksponenttiesityksen.

Osaa tutkia, muodostavatko annettu joukko ja laskutoimitus ryhmän.

Osaa tutkia, onko annettu osajoukko aliryhmä vai ei.

Pystyy laskemaan permutaatioilla ja jäännösluokilla.

Osaa määrittää alkion virittämän aliryhmän alkiot ja alkion kertaluvun.

Osaa tutkia, onko annettu ryhmä syklinen.

Ymmärtää, miksi aliryhmä määritellään niin kuin määritellään.

Hallitsee syklisen ryhmän ja alkion kertaluvun käsitteiden erilaiset luonnehdinnat.

Tietää, että syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä.

Osaa yksinkertaisessa tapauksessa määrittää useamman alkion virittämän aliryhmän.

Renkaat

Osaa tutkia, onko annettu osajoukko alirengas vai ei.

Osaa tutkia, onko annettu rengas kunta tai kokonaisalue.

Hahmottaa renkaiden, kuntien ja kokonaisaluiden keskinäisen hierarkian.

Osaa määrittää polynomin juuret ja tietää, kuinka niiden avulla voi etsiä polynomin tekijöitä.

Yhdistää renkaan määritelmän ehdot ryhmän määritelmän ehtoihin.

Hahmottaa, miksi alirengas määritellään niin kuin määritellään.

Ymmärtää, mikä ero on polynomilla ja polynomikuvauksella.

Osaa tutkia annetun polynomin jaollisuutta yksinkertaisissa tilanteissa.

Tekijärakenteet

Osaa tarkistaa, onko annettu relaatio ekvivalenssirelaatio. Pystyy määrittämään  ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokat.

Pystyy määrittämään annetun aliryhmän sivuluokat.

Osaa tarkistaa, ovatko annetut sivuluokat samoja.

Osaa tarkistaa, onko aliryhmä normaali.

Osaa laskea sivuluokilla ja määrittää tekijäryhmän kertotaulun.

Hahmottaa sivuluokat ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokkina.

Soveltaa Lagrangen lausetta.

Tietää, että tekijäryhmiä voi määrittää vain normaalien aliryhmien suhteen.

Hahmottaa tekijäryhmän ryhmänä ja osaa käsitellä sen alkoita kuten muidenkin ryhmien alkioita (esim. määrittää käänteisalkioita ja potensseja).

Tietää, että renkailla normaaleja aliryhmiä vastaavat ideaalit.

Homomorfismit

Osaa määrittää osajoukon kuvan ja alkukuvan annetussa kuvauksessa.
Osaa osoittaa kuvauksen lineaariseksi tai näyttää, että se ei ole lineaarinen.

Tuntee vektoriavaruuksien välisen isomorfismin määritelmän.

Tuntee lineaarikuvauksen ytimen ja kuvan määritelmät. Tietää niiden yhteyden kuvauksen injektiivisyyteen ja surjektiivisuuteen.

Pystyy tutkimaan äärellisten ryhmien isomorfisuutta kertotaulujen avulla.

Osaa tutkia, onko annettu kuvaus homomorfismi tai isomorfismi.

Osaa määrittää homomorfismin ytimen ja kuvan. Tietää, kuinka nämä käsitteet liittyvät kuvauksen injektiivisyyteen ja surjektiivisuuteen.

Osaa määrittää isomorfismin kahden ryhmän välille tai näyttää, että sellaista ei ole.

Käyttää ryhmien homomorfialausetta.

Ymmärtää ryhmähomomorfismien ja lineaarikuvausten välisen yhteyden. Tietää, että vastaavasti myös renkaille voidaan määritellä homomorfismin käsite.