Autonomiset systeemit, kevät 2014

Luennoitsija 

Lars Lamberg
 

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Kurssikuvaus

Mitä reaalimaailman ilmiötä tarkasteleekaan, usein kiinnostaa mihin tilanne lopulta johtaa, siis ilmiön loppukäyttäytyminen, ja myös sen stabiilisuusominaisuudet - ennustettavuuden kannalta on suotavaa paksunahkaisuus pieniin häiriötekijöihin. Matematiikka tarjoaa erilaisia työkaluja ilmiöiden mallintamiseen ja siten ennustamiseen, ja tuiki tavallisia, perinteellisiäkin, ovat differentiaaliyhtälöt tai niiden systeemit (joissa monta yhtälöä). Useinkaan systeemin matemaattista ratkaisua ei saada suljetussa muodossa, mutta siitä huolimatta ratkaisun (jonka tiedetään olevan olemassa) käyttäytymisestä, dynamiikasta, voidaan sanoa yhtä sun toista. Tällaista analyysiä kutsutaan laadulliseksi, ja se luonnistuu erityisesti nk. autonomisissa systeemeissä (kyllä vähän muissakin). Nämä ovat yhden muuttujan funktioiden differentiaaliyhtälösysteemejä, joissa vapaa muuttuja (aika) ei esiinny eksplisiittisesti. Kyseessä kylläkin rajoitettu aliluokka, mutta aika tavallinen sovelluksissa. Lyhyesti, jos ajassa kehittyvää ilmiötä säätelevät ehdot eivät suoraan riipu ajasta, mallintavasta differentiaaliyhtälösysteemistä tulee autonominen: siinäkään aika ei esiinny eksplisiittisesti.

Kurssin aihe on autonomisten systeemien dynamiikka ja sisältää ainakin kaksi kiinnostuksen kohdetta. Ensinnäkin kysymyksen, josko systeemi eli systeemin ratkaisu kehittyy kohti jotain rajatilaa. Tämä - laveasti ymmärrettynä - voi olla vaikka systeemin periodinen ratkaisu. Ongelman dimensio näyttelee asiassa suurta roolia, topologisista syistä. Kurssissa todistetaan taso-ongelman rajatilaa koskeva klasssikko, Poincarén-Bendixsonin lause.

Toinen kiinnostava ongelma on kysymys  systeemin ratkaisujen stabiilisuudesta, siis jos ratkaisua hieman häiritään, alkuehtoa hieman muutetaan, pysyykö häiritty ratkaisu lähellä alkuperäistä aina hamaan loppuun asti (jonkin matkaahan näin käy, jatkuvuuden nojalla). Tämä kysymys nousi tapetille viimeistään, kun Poincaré pyrki selvittämään, onko auringon, planeettojen ja muiden asiaan kuuluvien kappaleiden liikesysteemi iäti platonisen pysyvä. Hän päätyi ihmettelemään, ettei asia olekaan niin yksinkertainen kuin alkuun voisi luulla. Jos ottaa toisen esimerkin vaikka epidemiologiasta, niin täysin terve populaatio on tasapainotila nolla sairastuneiden määrässä. Jos tämä tila on stabiili, ja populaatioon ilmaantuu muutama sairas, ei synny mitään epidemiaa, vaan tauti hiipuu vähin äänin. Jos tasapainotila on puolestaan epästabiili, niin epidemia syntyy vääjäämättä. On selvää, että tällaiset asiat kiinnostavat epidemiologeja, ja kaikki se mikä asiaan vaikuttaa (systeemin parametrit, esimerkiksi rokotukset). Kurssissa todistetaan stabiilisuutta koskevia klassisia tuloksia Poincerélta, Perronilta ja Lyapunovilta.

Kurssi käy hyvästä esimerkistä, kuinka topologiset asiat ovat keskellä analyysiä.

Esitietovaatimukset

Perusanalyysi (kurssit Analyysi I ja II), mielellään differentiaaliyhtälöt (kurssit DY I ja II) ja perustopologia (Topo I). Jonkin verran tarvitaan lineaarialgebraa ja ehkäpä vektorianalyysiä, mutta näistä lainattavat lauseet on helppo selittää aina kun niitä tarvitaan.

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ti 10-12 B322 ja to 10-12 B321. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Ensimmäinen luento ti 14.1. ja laskarit ti 21.1.

Kokeet

Kurssikokeet ovat pe 28.2. 13-15 ja pe 2.5. 13-15 auditoriot (lähinnä A111). Mukana saa olla, myös erilliskokeissa, A4-kokoinen tiivistelmä.

Kirjallisuus

Käsinkirjoitetut luennot, niiden edetessä, tulevat kansioon huoneessa C127.

D.W.Jordan, P.Smith: Nonlinear Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford 1977,

R.K.Nagle, E.B.Saff, A.D.Snider: Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Pearson 2008,

F.Brauer, J.A.Nohel: The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York 1989,

F.Brauer, Castillo-Chávez: Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, 2001,

J.K.Hale: Ordinary Differential Equations, Krieger, New York 1980.

Kurssi seuraa pääasiassa ensimmäisenä mainittua kirjaa.

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Ensimmäiset laskarit ti 21.1.

Laskuharjoitustehtävät

Muuta 

Harjoituksista saa kurssikoesuoritukseen enimmillään  10  lisäpistettä seuraavan prosentuaalisen suorituksen mukaan:10%- 1, 15%- 2, 20%- 3, 30%- 4, 40%- 5, 50%- 6, 60%- 7, 70%- 8, 75%- 9, 80%- 10.