Johdatus todennäköisyyslaskentaan, kesä 2013

Last modified by kohonen@helsinki_fi on 2024/03/27 10:10

Johdatus todennäköisyyslaskentaan, kesä 2013

Luennoitsija: Jukka Kohonen

Laajuus: 5 op.

Tyyppi: Tilastotieteen perusopintoja, matematiikan aineopintoja.

Opetus: Kurssi on kolme viikkoa kestävä tiiviskurssi. Opetus koostuu laskuharjoitustehtävistä, ohjauksesta sekä luennoista. Kurssi suoritetaan kurssikokeella.

Luennot ovat ma, ti, to, pe kello 14-16, ma 19.8. alkaen salissa CK112. Luennot alkavat to 8.8.2013 ja päättyvät ti 27.8.2013.

Pääosa opiskelusta tapahtuu omatoimisesti laskuharjoituksia tekemällä sekä lukemalla kurssikirjaa ja muuta kurssimateriaalia.

Laskupaja: Opiskeluun ja tehtäviin saa apua ohjaajilta, jotka päivystävät 9.8. alkaen ennen luentoja (ma-ti kello 12.00-14.00, to-pe kello 10.00-14.00) mikroluokassa C128. Apua saa kaikkiin tehtäviin (ei vain tietokonetehtäviin). Viimeinen mikroluokan pajapäivystys on ti 27.8. Lisäksi päivystys 3. kerroksen pajaluokassa ke 28.8. kello 12-16.

Tehtävät palautetaan kirjallisesti kaksi kertaa viikossa. Luennot eivät kata kaikkea opetussisältöä, vaan luennoilla syvennetään valikoituja aiheita ja käsitellään myös tehtäviin liittyviä asioita. Laskuharjoitusten tekeminen on olennainen osa kurssin opiskelua ja niistä saa lisäpisteitä kokeeseen (1/4 tehtävistä = 1 p; 2/4 tehtävistä = 2 p; 3/4 tehtävistä = 3 p).

Osa laskuharjoituksista tehdään tietokoneella MATLAB-ohjelmalla. Minkäänlaista käyttökokemusta ei edellytetä. MATLABin käyttöön saa ohjausta. Kurssi ei ole Matlab-kurssi: Matlabia opetellaan vain sen verran, mitä tarvitaan jotta voimme käyttää sitä välineenä todennäköisyyden opiskeluun.

Esitietovaatimukset: Kurssilla tarvitaan perustiedot integraalilaskennasta, esimerkiksi hyvin hallitun lukion matematiikan pitkän oppimäärän perusteella.

Kirjallisuus: Kurssin oppikirja on Pekka Tuomisen Todennäköisyyslaskenta I (Limes ry). Kirjaa myydään Limeksen kirjamyynnissä ja kirjakaupoissa. Sitä on myös kirjastossa. Kurssin sivuille tulee myös lisämateriaalia. Sekä oppikirja että lisämateriaali kuuluvat opetussisältöön, kumpikaan ei yksinään riitä.

Ajankohtaista

  • Kurssikoe on 30.8. arvosteltu. Kurssin tulokset ovat 3. kerroksen ilmoitustaululla.
  • Uusintakoe 22.10. on arvosteltu ja tulokset kirjattu.
  • Kokeiden arvosteluun voi tutustua luennoitsijan työhuoneessa (B329).
  • Johdatus todennäköisyyslaskentaan luennoidaan seuraavan kerran periodissa III keväällä 2014.
  • Yleistentissä kurssin voi seuraavan kerran suorittaa 23.1.2014.

Kurssin asiasisältö

  • Todennäköisyyden käsite. Klassinen (symmetrinen), frekventistinen ja subjektiivinen todennäköisyys.
  • Todennäköisyyden aksioomat (Kolmogorovin aksioomat) ja perusominaisuudet.
  • Kombinatoriikkaa. Tulo- ja summaperiaate. Satunnaisotanta.
  • Ehdollinen todennäköisyys. Riippumattomuus. Toistokoe.
  • Bayesin kaava. Todennäköisyyden muuttuminen lisäinformaation seurauksena.
  • Diskreetit satunnaismuuttujat. Eräitä diskreettejä jakaumia (tasainen, Bernoulli, binomi, geometrinen ja Poisson).
  • Jatkuvat satunnaismuuttujat. Eräitä jatkuvia jakaumia (tasainen, normaali ja eksponentiaalinen).
  • Satunnaismuuttujien muunnokset ja laskutoimitukset (yhteenlasku ym.).
  • Satunnaismuuttujan tunnuslukuja (odotusarvo, varianssi ym.).
  • Suurten lukujen laki. Keskeinen raja-arvolause. Jakauman approksimoiminen normaalijakaumalla.
  • Kahden muuttujan yhteisjakauma.

Kurssikoe

    • ===
  • Koe on perjantaina 30.8. kello 15-17 auditoriossa A111.
  • Kurssi on suomenkielinen, mutta kokeen saa suorittaa myös ruotsiksi tai englanniksi. Tehtävät saa näillä kielillä.
  • Mukana saa olla taulukkokirja ja laskin laitoksen yleisten käytäntöjen mukaisesti. Tehtäväpaperiin tulee tarvittaessa standardinormaalijakauman taulukko.
  • Kokeessa osattava asiasisältö:
    • Pekka Tuomisen Todennäköisyyslaskenta I seuraavasti:
      • Luku 1 (Todennäköisyys) kokonaan (ei lauseita 1.3.5 ja 1.3.6)
      • Luku 2 (Satunnaismuuttujat) lukuunottamatta kappaletta 2.5
      • Luku 3 (Odotusarvo ja muita jakauman tunnuksia) lukuunottamatta kappaleita 3.3 ja 3.6–3.9
      • Luku 4 (Keskeinen raja-arvolause) kokonaan
      • Luvusta 5 (Kaksiulotteiset jakaumat) vain kappaleet 5.2 ja 5.4
      • Kirjassa tähdellä star merkityt osat eivät kuulu kurssin sisältöön.
      • Lauseiden todistuksia ei yleensä ole välttämätöntä muistaa, mutta lauseiden keskeinen asiasisältö kyllä. Lauseita on osattava soveltaa.
      • Lueteltu sisältö on hallittava, myös siltä osin kuin sitä ei ole käsitelty luennoilla.
    • Koko luentomateriaali (linkit alla luentopäiväkirjassa), myös siltä osin kuin sitä ei ole Tuomisen kirjassa.
    • Laskuharjoitukset malliratkaisuineen.
  • Vanhoja kurssikokeita ja niiden ratkaisuja:

Luentopäiväkirja

Luentopäiväkirjassa kerrotaan etukäteen, mitä aiheita on tarkoitus käsitellä, ja mihin materiaaleihin on syytä tutustua etukäteen. Luennon jälkeen päiväkirjaa voidaan päivittää sen mukaan, mitä aiheita tuli käsitellyksi. Mahdolliset luentokalvot tulevat tänne, mutta luento saattaa perustua myös liitutauluun kokonaan tai osaksi. Luentokalvot saattavat tulla jo ennen luentoa mutta se ei ole taattua. Kalvoja saatetaan myös päivittää jälkikäteen.

  • to 8.8. Luento 1: Todennäköisyyden käsite. Symmetrinen todennäköisyys. Tuominen s. 9–17.
    • Luentokalvot (PDF).
    • Sivulla 15 sigma-algebran käsite ei kuulu kurssiin. Tällä kurssilla riittää ajatella, että kaikille esiin tuleville kiinnostaville tapahtumille on olemassa todennäköisyys.
  • pe 9.8. Luento 2: Kombinatoriikkaa. Epäsymmetriset tn-avaruudet. Tuominen s. 18–28.
  • ma 12.8. Luento 3: Todennäköisyyksien peruslaskukaavat (Tuominen s 18). Riippumattomuus, toistokoe ja otanta (Tuominen 32-42).
  • ti 13.8. Luento 4: Ehdollinen todennäköisyys (Tuominen 36-38). Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava (Tuominen 43-47). Diskreetti satunnaismuuttuja (Tuominen 48-56; käsiteltiin vain vähän alkua).
  • to 15.8. Luento 5: Huomioita 1. harjoituksista. Vähän vielä kombinatoriikkaa. Bayesin kaavan soveltaminen. Diskreetti satunnaismuuttuja, eräitä jakaumia, odotusarvon käsite (Tuominen 48-56).
  • pe 16.8. Luento 6: Satunnaismuuttujien summa. Binomijakauman odotusarvo. Jatkuva jakauma ja tiheysfunktio (Tuominen 56-59). Jatkuvan jakauman odotusarvo (Tuominen 64-65). Tutustuttiin myös pikaisesti satunnaismuuttujien riippumattomuuteen.
  • ma 19.8. Luento 7: Multinomikerroin (Tuominen 34-36). Multinomikoe ja multinomijakauma (ei Tuomisessa). Riippumaton otos jatkuvasta jakaumasta ja histogrammi. Riippumattomat satunnaismuuttujat ja niiden summa (67-72). Satunnaismuuttujan muunnos ja sen jakauma (74-77).
  • ti 20.8. Luento 8: Bayesin kaavan soveltaminen koesarjassa. Minkä tahansa jakauman simuloiminen (Tuominen s. 75-77). Monen muuttujan summa. Normaalijakauma (61-64). Jakauman varianssi ja hajonta (82-84).
  • to 22.8. Luento 9: Kertausta: Miten jatkuvilla jakaumilla lasketaan eri asioita. Suurten lukujen laki ja Bernoullin lause (Tuominen 91-94). Markovin ja Tšebyševin epäyhtälöt (Tuominen 81 ja 85).
  • pe 23.8. Luento 10: Keskeinen raja-arvolause, normaaliapproksimaatio (Tuominen 117-124). Monte Carlo -integroinnin perusteet.
  • ma 26.8. Luento 11: Poisson-jakauma ja sillä approksimointi (53-54). Lyhyt tutustuminen kahden diskreetin muuttujan yhteisjakaumiin ja ehdollisiin jakaumiin (Tuominen 125-130), kovarianssi ja korrelaatio (137-138).
  • ti 27.8. Luento 12: Viimeinen luento, kertausta kurssin sisällöstä.

Harjoitustehtävät

Harjoitustehtävät ja malliratkaisut tulevat tälle sivulle. Palauta ratkaisusi 3. kerroksen C-käytävässä (kierreportaista katsoen vasemmalla, avoimessa aulatilassa) olevaan muovilaatikkoon. Viereisessä laatikossa on kansilehtiä. Käytä kansilehteä ja merkitse siihen kurssitunnuksesi, se helpottaa suoritusten kirjaamista. 3. harjoituskerrasta alkaen tunnuksettomia palautuksia ei hyväksytä.

Tarkastuksen jälkeen voit hakea ratkaisusi viereisestä muovilaatikosta ("Tarkastetut"). Katso onko ratkaisuihisi merkitty huomautuksia. Jos tehtävä on tarkastettu, punainen kukka tarkoittaa hyväksyttyä (ei välttämättä täysin oikeaa) ja musta risti hylättyä suoritusta. Selvitä ongelmakohdat itsellesi malliratkaisuista ja/tai pajassa ja/tai luennolla.

Harjoitus 1 — Palautuspäivä ti 13.8. — Ratkaisut

Harjoitus 2 — Palautuspäivä to 15.8. — Ratkaisut

Harjoitus 3 — Palautuspäivä ma 19.8. — Ratkaisut

Harjoitus 4 — Palautuspäivä to 22.8. — Ratkaisut

Harjoitus 5 — Palautuspäivä ma 26.8. — Ratkaisut

Harjoitus 6 — Palautuspäivä ke 28.8. — Ratkaisut 

Harjoitustehtävä 6:10 on kurssipalautteen antaminen. Palautteen voi antaa tällä lomakkeella.

Apufunktioita Matlab-harjoituksia varten löytyy osoitteesta http://www.helsinki.fi/~kohonen/jtn/matlab/. Latausohje: Käynnistä ensin kerran Matlab, jolloin se luo kotihakemistoosi alihakemiston "MATLAB". Tallenna sitten ylläolevan linkin takaa löytyvät tiedostot yksitellen (selaimesta riippuen esim. hiiren kakkosnapilla ja "Save Target As" tai "Save Link As") ja valitse tallennus MATLAB-hakemistoon (Desktop > Libraries > Documents > Matlab). Sen jälkeen voit käyttää niitä Matlabissa. Matlabissa voit dir-komennolla katsoa, mitä apufunktioita olet tallentanut.

Tehtäviä voi tehdä myös ilmaisella Octave-ohjelmalla (jonka voit ladata vaikka omalle tietokoneellesi). Octave on rajoitetussa määrin yhteensopiva Matlabin kanssa. Valitettavasti ei voida taata, että kaikki kurssimateriaalina tarjottu koodi toimii sellaisenaan myös Octavessa. (Ainakin noppa ja kolikko tuntuvat toimivan.)