Malliavin-laskenta, kevät 2011

Luennoitsija

Dario Gasbarra

Laajuus

5-8 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset:

todennäköisyysteoria

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 10-12 C124, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Pääsiäisloma 21.-27.4.
 Laskuharjoituksia esittää Krishnan Narayanan

Suoritustapa:

Kurssi suoritetaan tekemällä laskuharjoitustehtäviä, tai kotitentillä.

Osa kurssimateriaaleista on englanninkielinen, kuten laskuharjoituksia, mahdollisesti
 luennoin myös englanniksi yleisöstä riippuen.

The lectures will be given in english or finnish depending on the audience.

Harjoitustehtävät ja ratkaisut

Kurssin kuvaus

Stokastisessa analyysissa keskeinen käsite on Iton stokastinen integraali Brownin liikkeen suhteen (1944). Alussa klassinen Frechetin derivointi teoria Banach avaruudessa ei sovinnut hyvin probabilistisen Iton integrointiteorian kanssa.Vuonna 1976 Paul Malliavin esitti uutta tapaa derivoida Brownin liikkeen prosessin funktionaaleja. Malliavin laskennan avulla stokastisen integraalin käsite on laajennettu ei adaptoiduille integrandille. Tulokset ovat hyvin käytännöllisiä: esimerkiksi rahoitusteoriassa, Ito-Clarck-Oconen esityslauseen avulla voidaan käsitellä eksottisten optioiden hinnoittelua ja suojausta.

Sisältö (alustavasti)

Johdanto:

Malliavinin laskenta äärellisessä dimensiossa: osittaisintegrointi kaava, painotettu Sobolev avaruus.

Gaussinen mitta Banach ja Hilbert avaruudessa.

Gaussiset satunnaismuuttujat, Ferniquen lause,Isonormaali gaussinen prosessi, valkoinen häly,mitan vaihto ja Cameron-Martin lause,Hermiten polynomit, abstrakti kaaoskehitelmä.
 Brownin liike ja valkoinen häly, Filtraatiot ja martingaalit, Iton isometria ja Iton integraali, Girsanovin lause,moninkertaiset Wiener-integraalit ja kaaoskehitelmä.

Malliavin-derivaatta

Derivointi Banach-avaruuksissa,Derivointi Wiener-avaruudessa, Yleinen gaussinen määrittely
 Kaaoskehitelmän derivaatta.

Divergenssi ja Skorohod-integraali

Liitto-operaattoreista, Divergenssi liitto-operaattorina,Kaaoskehitelmän divergenssi ,Antisipatiiviset stokastiset integraalit, Ito-Clark-cone-esityslause

Sovelluksia:

Stokastiset differentiaaliyhtälöt, osittaisintegrointi kaava ja Hörmanderin lause.
 Black ja Scholes markkinamalli, optioiden hinnoittelu. Portfolion herkyysparametrien numeerinen laskenta osittais-integrointi kaavan avulla.

Kirjallisuus

 Sottinen, Tommi:Malliavin laskenta eli gaussisten prosessien derivointi, luentomoniste (suomeksi).

Luennot perustuvat kirjoihin

• G. Da Prato: An introduction to Infinte-Dimensional Analysis. Springer 2006.  
• G. Da Prato: Introducion to Stochastic analysis and Malliavin calculus, Edizioni della Normale, Pisa 2007.
• D. Nualart :The Malliavin calculus and related topics. Probability and its Applications. Springer-Verlag, New York, 2005

Muita kirjoja Malliavin-laskennasta:

• D. Bell : The Malliavin calculus. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 34, 1987.
• Bouleau N. Error Calculus for Finance and Physics: The Language of Dirichlet Forms , De Gruyter Expositions in Mathematics, 2003.
• Bouleau N., Hirsch F. Dirichlet Forms and Analysis on Wiener Space , De Gruyter Studies in Mathematics, 1991.
• R. Carmona, M. Tehranchi: Interest Rate Models, An Infinite-dimensional Stochastic Analysis Perspective, 2006.
• G. Di Nunno, B. Øksendal, F. Proske: Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance, 2009.
• Malliavin, Paul: Stochastic analysis, 1997.
• Malliavin P. Thalmaier A. Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance , Springer Finance, 2006.
• Privault N. Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings, with Normal Martingales, Springer 2009
• A. Üstünel, An introduction to analysis on Wiener space. Lecture Notes in Mathematics, 1610. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
• Shigekawa I., Stochastic analysis , AMS 2004.

Netissä vapaasti saatavilla:

• Øksendal, Bernt: An introduction to Malliavin calculus with applications to economics, 1997.
• P. Friz: An introduction to Malliavin calculus, 2005. 
  

Tästä luentokalvot, omat muistiinpanot gaussisista mitoista Banach ja Hilbert avaruuksissa.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset