Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2010
Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2010
Luennoitsija
Laajuus
10 op.
Tyyppi
Syventävä opinto
Esitietovaatimukset
Yhden ja useamman muuttujan analyysin perustiedot (kursseista Analyysi I & II, sekä Vektorianalyysi), lineaarialgebran peruskäsitteet (vektoriavaruus ja lineaarikuvaus) sekä metrisen avaruuden perusteet (kurssista Topologia I). Joissakin sovelluksissa ja esimerkkeissä tarvitsemme Lebesguen integraalin perusominaisuuksia, mutta kurssin voi seurata samanaikaisesti Mitta ja integraalin kanssa (silloin omaehtoinen kertaaminen tai asioihin tutustuminen saattaa joskus olla tarpeen).
Luentoajat
Viikot 3-9 ja 11-18 ma 10-12 ja ke 12-14 C323. Huom: väliviikolla 10 ei luentoja tai laskuharjoituksia. II. periodi alkaa ma 15.3.
Pääsiäisloma 1.-7.4.
Kokeet
Kaksi kurssikoetta, tai erilliskoe.
1. kurssikoe: torstaina 18.3. klo 16.00-18.00 salissa D123. Ottakaa yhteys luennoijaan jos ehdotettu aika ei sovi!
Koealue: luvut 1, 2, 3, ja 4, kohdat 4.1-4.40 (vanhassa versiossa; kohdat 4.1-4.41 vuoden 2010 versiossa). Kurssikansioiden huoneesta C326 löytyy kurssin vuoden 2008 kurssikansio, jossa on kokoelma
luennoijan laatimia vanhoja koetehtäviä (+ joitakin mallivastauksia).
2. kurssikoe: perjantaina 14.5. klo 11.00-14.00 salissa D123. Ottakaa yhteys luennoijaan jos ehdotettu aika ei sovi! (Vaihtoehtoinen koetilaisuus järjestetään tarvittaessa.)
Koealue: luvut 5-9 (poislukien luvusta 5 osat 5.19-5.25 (sovellus Sturm-Liouville ongelmaan) ja luvusta 9 osat Bilineaariluvut ja Lax-Milgramin lause sekä Transpoosi, joita ei luennoitu v. 2010). Muista myös, että lukujen 1-4 perustietoja tarvitaan edelleen tässä.
Erilliskokeita mm. ti 11.5 ja ti 18.5 (uusi), sekä myöhemmin ilmoittautumalla. Erilliskokeen koealueena on vuonna 2010 luennoitu versio kurssista (vrt. kurssikokeiden koealueet).
Ohessa myös vanhoja kurssikoetehtäviä (v. 1998, 2001, 2008): ja
Kokoelma (luennoijan laatimia) erilliskokeita löytyy tästä .
Muistutus: kurssimateriaalin järjestys oli aikaisemmin vähän erilainen, sekä joinakin vuosina laajempi, mm. kompaktisuus ja Ascoli-Arzelan lause on myös käsitelty silloin.
Sisältö
Funktionaalianalyysin peruskurssi on tärkeimpiä matemaattisen analyysin syventäviä kursseja sekä yleisen että soveltavan matematiikan opiskelijoille. Tutustumme ainakin seuraaviin keskeisiin aiheisiin:
- Banach avaruus (= täydellinen normiavaruus): määritelmä ja perusesimerkit
- täydellisyys ja sen sovellukset (mm. kiintopistelause).
- Hilbert avaruus: perusominaisuudet, ortogonaaliset projektiot, ortonormaalit kannat; optimointi Hilbert avarauuksissa
- Fourier sarjojen L_2 teoria
- jatkuvat lineaariset operaattorit ja niitä koskevat peruslauseet: Neumannin sarja, tasaisen rajoituksen periaate (Banach-Steinhaus), avoimen kuvauksen lause, suljetun kuvaajan lause
- distribuutioderivaatta ja Sobolev avaruus
- Hahn-Banachin laajennuslause ja dualiteetti, refleksiivisyys
- operaattorin adjungaatti
Sovelluksina mm. Fourier sarjojen perusteoria ja integraaliyhtälöiden ratkaiseminen.
Kirjallisuus
Kurssi seuraa monistetta Astala-Piiroinen-Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi. Linkki vuoden 2008 versioon löytyy tästä.
Oheisesta linkistä löytyy vuoden 2010 parannettu, valmiimpi versio (nyt kurssin loppuun). Huom: tässä on myös korjattu luvun 5 Fourier-sarjojen yhteenvedossa ollut virhe (kohta 3; s. 98).
Ilmoittaudu
Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.
Laskuharjoitukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | to | 10-12 | B322 | Juha Ruokolainen |
1. laskuharjoitus to 28.1. Laskuharjoituksista saa lisäpisteitä (kurssikokeitten tai erilliskokeen pistesumman päälle) ratkaistuista tehtävistä: 20% = +1p, 30% = +2p, 40% = +3p, 50% = +4p, 60% = +5p, 70% = +6p.
Laskuharjoitustehtävät: