Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2008

Luennoitsija

Hans-Olav Tylli

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Yhden ja useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta, lineaarialgebra, metristen avaruuksien alkeet, mitta- ja integrointiteorian alkeet.

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 12-14 C123, ke 14-16 D123. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Pääsiäisloma 20.-26.3.

Laskuharjoitustehtävät

Laskuharjoitustehtävät ovat omalla sivullaan.

Kotisivu

http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/FApk/luennot/FApk08luennot.html

Sisältö

Ydinaines

Normiavaruus, täydellisyys, Banach-avaruus, konkreettiset esimerkit
Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälö
Hilbert-avaruus, ortogonaalinen projektio ja ortonormaalit kannat
Rajoitettu lineaarinen operaattori
Duaaliavaruus
Hahn-Banachin lauseet
Banach-Steinhausin lause
Avoimen kuvauksen ja suljetun kuvaajan lauseet

Täydentävä tietous

Optimointi Hilbert-avaruudessa
Kompaktisuus ja kompaktit operaattorit
Fourier-sarjojen suppeneminen
Operaattorin adjungaatti
Heikko derivaatta ja Sobolev-avaruus
Weierstrassin approksimaatiolause

Erityistietämys

Heikko topologia
Projektiot Banach-avaruuksissa ja komplementoidut aliavaruudet
Banach-avaruuksien kannat
Riesz-Fredholmin teoria
Kompaktin itseadjungoidun operaattorin spektraaliesitys

Kirjallisuus

Funktionaalianalyysin perruskurssi, luentokansio
Rynne, B., Youngson, M., Linear Functional Analysis, Springer Undergraduate Mathematics Series, London, 2000.
Friedman, A., Foundations of Modern Analysis, Dover 1982.
Maddox, I.J., Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, 1977.
Rudin, W., Functional Analysis. McGraw Hill 1974.
Brezis, H., Analyse fonctionnelle, Masson, Paris 1993.
Werner, D., Funktionalanalysis, Springer Lehrbuch 1990.

Laskuharjoitukset