Ryhmäteoria, syksy 2008
Ryhmäteoria, syksy 2008
Luennoitsija
Laajuus
8-10 op.
Tyyppi
Syventävä opinto.
Esitietovaatimukset
Algebra I.
Jos mahdollista, olisi hyvä kerrata ryhmäteorian osuus monisteesta Metsänkylä-Näätänen. Kurssilla on myos eduksi tuntea perusasioita geometriasta, topologiasta ja diskreetistä matematiikasta tai ainakin matemaattista kypsyytta tutustua tarvittaviin rakenteisiin niiden tullessa vastaan.
Luentoajat
Viikot 36-42 ja 44-50 ke 10-12 C124, pe 10-12 B322. Yksi neljästä viikkotunnista on laskuharjoituspainotteisempi. Erillistä laskuharjoitustuntia ei siis ole. Laskuharjoitustunti pidetään aina, kun olemme edenneet sopivan määrän uutta materiaalia.
Seuraava laskuharjoitus on keskiviikkona 19.11. Sitä varten tehtävät luvusta 6. Perjantaina 14.11. alamme käsitellä puolisuoria tuloja ja köynnöstuloja.
Kurssikuvaus
Ryhmäteoria on yksi tärkeimpiä matematiikan aloja, silla ryhmäteoria tutkii symmetrioita, ja symmetrioita on kaikkialla matematiikassa.
Tällä kurssilla tutustumme erilaisiin ryhmiin ja näiden esimerkkien kautta ryhmien yleisempään teoriaan. Suurin osa esimerkeistä on ei-abelisia ja ne on valittu esittelemään keskenään hyvin erilaisia ryhmiä, niin äärellisiä kuin äärettomiä. Erityisesti kurssi painottaa ryhmäteorian yhteyttä moniin eri matematiikan aloihin, kuten topologiaan, verkkoteoriaan, geometriaan, analyysiin ja lukuteoriaan.
Tama yhteys toimii kumpaankin suuntaan. Ryhmäteorian avulla voidaan todistaa esimerkiksi topologisia tai lukuteoreettisia tuloksia ja topologian tai lukuteorian metodeja käyttäen saadaan todistettua ryhmäteoriasta uusia lauseita.
Kurssin aihepiiristä on haluttaessa saatavissa eri tasoisia opinnäytetyon aiheita. Kurssi luennoidaan suomeksi.
Suoritustapa
8 op: laskuharjoitukset ja tentti;
10 op: laskuharjoitukset, tentti ja essee.
Tentti on laitoksen yleistentissä 16.12. klo 12-16.
Sisältö
Kurssilla käsitellään esimerkiksi seuraavia aiheita, riippuen hieman etenemisnopeudesta. Osa aihepiirista on syventävää ja ei-tentittävää materiaalia, mutta näitä on mahdollista laajentaa esseeksi, jonka kirjoittamalla kurssista saa kaksi opintopistettä enemmän.
- Ryhmäteorian peruskäsitteiden kertaus, aliryhmät, normaalit aliryhmät, tekijäryhmät, permutaatioryhmät, isomorfismilauseet, Sylowin lauseet.
- Platonin kappaleet ja näiden symmetriaryhmät, ryhmän toiminnat, toiminnan rata ja vakauttaja, väritysongelmat
- Yksinkertaiset ja ratkeavat ryhmät, yksinkertaisten ryhmien luokittelu, yhtälöitten ratkaisukaavat.
- Vapaa ryhmä, ryhmän esitys virittäjien ja relaatioiden avulla, topologiset menetelmät, sanaongelmat
- Puolisuorat tulot ja "tapettikuvioryhmät" seka ryhmälaajennukset
- Ryhmien köynnöstulot ja lampunsytyttäjän ryhmä
- Ryhmät lukuteoriassa, kuten ideaaliluokkien ryhmä, sekä elliptisen käyrän rationaalipisteitten ryhmä
- SL_2(Z), eli 2x2 kokonaislukumatriisien, joiden determinantti on yksi, muodostama ryhmä. Möbiuksen kuvaukset ja toiminnat kompleksitason ylemmässä puolitasossa
- proäärelliset ryhmät ja p-adiset kokonaisluvut pro-p-ryhmänä
Kurssimateriaali
Luentomuistiinpanot
Tehtävät on siroteltu luentomuistiinpanojen sekaan.
Kirjat
Kumpulan kirjastosta löytyvät seuraavat kirjat.
Yleinen teoria
Burnside: Theory of groups of finite order (vanha, luultavasti hankala lukea)
Baumslag-Chandler: Group theory (perusteoriaa)
Carmichael: Groups of finite order (perusteoriaa)
Huppert: Endliche Gruppen (hyvä kirja saksaksi)
Kurzweil: Endliche Gruppen (saksaksi)
Robinson: A course in theory of groups (edellisiä laajempi)
Schmidt: Abstract theory of groups (vanha)
Scott: Group theory (näytti hyvältä)
Specht: Gruppentheorie (saksaksi)
Speiser: Gruppentheorie (saksaksi)
Suzuki: Group theory I
Tsuzuku: Finite groups and finite geometries
Vapaat ryhmät
EMS 37: Algebra IV
Cohen: Combinatorial group theory
Magnus-Karrass-Solitar: Combinatorial group theory
Ryhmien toiminnat on esitetty hyvin kirjassa (tätä kirjaa ei ole Kumpulassa):
Neumann, Stoy, Thompson: Groups and Geometry, OUP.