Johdatus algebralliseen geometriaan, syksy 2013

Last modified by jhasa@helsinki_fi on 2024/03/27 10:43

Johdatus algebralliseen geometriaan, syksy 2013

Ajankohtaista

25.2. Arvosanarajat on korjattu.

16.11. Tehtävien ja tutkielman palautuspäivä on siirretty 2. periodin loppuun. Suoritus-osioon on lisätty lisäksi hieman tarkempaa tietoa pisteytyksestä ja arvosanarajoista.

15.10. Korjasin hieman lukujen I.2 ja I.3 tehtävien vihjeitä (liittyen tehtäviin 2.4 ja 3.2). Myös luvun II.1 tehtäviin 1-10 on nyt ilmestynyt vihjeitä.

8.10. Materiaali-osioon on ilmestynyt vihjeitä luvun I.4 tehtäviin.

2.10. Materiaali-osioon on ilmestynyt vihjeitä luvun I.3 tehtäviin.

30.9. Kotitehtäväksi annettiin tutustua kirjan ykkösosaan ja etsiä sieltä mahdollisia kiinnostavia aiheita loppuviikkoina käsiteltäviksi. Tällä viikolla aikomus on tarkastella lukua II.1 (erityisesti tangenttiavaruuksia), joka löytyy nyt kopiohuoneen kansiosta. Tutustukaa etukäteen!

27.9. Materiaali-osioon on ilmestynyt vihjeitä luvun I.2 tehtäviin.

26.9. Huomenna perjantaina ei ole opetusta Tommy Dreyfusin vierailun vuoksi. (Hän pitää matematiikan oppimista ja opettamista käsittelevän luennon "How can we know whether it is a proof?" kello 12-14 salissa B120. Osallistumista suositellaan.)

19.9. Kurssin ohjelma on ilmestynyt tälle sivulle. Myös hieman oheiskirjallisuutta on lisätty Ma-osioon.

19.9. Tutkielman aiheita on päivitetty.

13.9. Ensimmäisellä (varsinaisella) viikolla käytiin läpi luvun 2 asioita. Ensi viikolla tutustutaan lukuun 3 sekä alustavasti lukuun 4. Kohdassa Ma on joitakin kysymyksiä, joita miettimällä voit valmistautua uusiin aiheisiin.

11.9. Kurssi on alkanut ja sivulle on päivitetty tietoa kurssimateriaalista, harjoitustehtävistä ja kurssin suorittamisesta.

10.8. Huom! Luennoitsijan matkan johdosta ensimmäisellä viikolla on rajoitetusti opetusta. Maanantain 2.9. opetusta ei pidetä (sen sijaan suositellaan osallistumista yliopiston avajaisiin). Torstaina 5.9. sijaisena toimii Johanna Rämö. Perjantain 6.9. opetus on peruttu. Peruttu opetus voidaan korvata myöhempänä ajankohtana.

10.8. Ennakkotehtävän kuudes tehtävä on korjattu (uudestaan).

5.8. Ennakkotehtäviin on korjattu joitakin virheitä. Kiitokset virheiden löytäjille.

Kohdasta Ma löydät ennakkotehtäviä, joiden avulla voit tarkistaa esitietosi.

Yleistä

Luennoitsija: Jokke Häsä

Laajuus: 5 op.

Tyyppi: Syventävä opinto

Opetusajat: Viikot 36-42 ma 12-14, to 14-16, pe 12-14 salissa B321. Näihin tunteihin sisältyy luentoja ja harjoituksia. Huom! Ensimmäinen opetuskerta on torstaina 5.9.

Esitietovaatimukset: Algebra I, sekä Algebra II tai valmius opiskella itsenäisesti tarvittavat tiedot. Lisäksi kursseista Topologia I ja II sekä Vektorianalyysi on hyötyä. Avainkäsitteitä ovat jaollisuus, polynomirenkaat, ideaalit, tekijärenkaat ja kuntalaajennokset. Omat esitietonsa voi tarkistaa tutustumalla ennakkotehtäviin, jotka löytyvät kohdasta Ma.

Kurssikuvaus

Koulun analyyttisessä geometriassa tutkittiin geometrisia olioita koordinaatiston ja yhtälöiden avulla. Erityisenä kohteena olivat polynomilausekkeiden kuvaajat ja niiden ominaisuudet. Algebrallinen geometria jatkaa tästä ottamalla käyrien yhtälöiden tutkimisessa käyttöön vahvoja abstraktin algebran työkaluja kuten polynomirenkaat, ideaalit ja kuntalaajennokset.

Kurssilla tutustutaan joihinkin algebrallisen geometrian peruskäsitteisiin, joita ovat affiinit ja projektiiviset avaruudet, Zariskin topologia, algebralliset monistot (nk. "varistot" tai "varieteetit"), koordinaattirenkaat, säännölliset ja rationaaliset kuvaukset, tangenttitasot ja singulariteetit. Tämän lisäksi voidaan syventyä tarkemmin johonkin opiskelijoiden toivomaan osa-alueeseen.

Suorittaminen

Kurssin suorittaminen perustuu aktiiviseen läsnäoloon, harjoitustehtävien tekemiseen sekä lyhyen tutkielman laatimiseen. Varsinaista koetta ei ole.

  • Harjoitustehtävät, joista saa pisteitä, on lueteltu kohdassa Ma. Tehtävät palautetaan puhtaaksikirjoitettuina toisen periodin loppuun (perjantai 13.12.) mennessä. Jokaisesta oikein tai lähes oikein tehdystä tehtävästä saa yhden pisteen.
  • Tutkielma voi esimerkiksi jonkin pidemmän todistuksen läpikäyminen. Aiheita löytyy kohdasta Ma. Kirjallisen tutkielman sijasta voi laatia suullisen esitelmän tai halutessaan opettaa jonkin aiheen luennolla. Tutkielmasta saa maksimissaan 40 pistettä.

Arvosanarajat ovat 1 - 25 p, 2 - 34 p, 3 - 43 p, 4 - 52 p, 5 - 61 p.

Kurssin ohjelma

  • 9.-13.9.: Määritellään affiinit suljetut joukot, niiden ideaalit ja koordinaattirenkaat (luku I.2). Aloitetaan tekemään tehtäviä luvusta I.2.
  • 16.-20.9.: Määritellään affiinin suljetun joukon rationaalifunktiot (luku I.3). Puhutaan Nullstellensatzista ja tutustutaan alustavasti projektiivisen avaruuden käsitteeseen (luku I.4). Katsotaan mm. rationaalifunktioihin liittyviä tehtäviä luvusta I.3.
  • 23.-27.9.: Jatketaan projektiivisen avaruuden tarkastelua (luku I.4). Määritellään kvasiprojektiiviset varieteetit sekä niiden säännölliset funktiot ja rationaalifunktiot. Pohditaan näihin liittyviä tehtäviä luvusta I.4.
  • 30.9.-4.10.: Tutustutaan varieteettien lokaaleihin ominaisuuksiin. Määritellään tangenttiavaruudet ja singulaariset pisteet (luku II.1). Tehdään näihin liittyviä tehtäviä.
  • 7.-11.10.: Jatketaan tangenttiavaruuksien tarkastelua. Pohditaan varieteetin dimension käsitettä ja sen yhteyttä singulariteetteihin. Tehdään tehtäviä.
  • 14.-18.10.: Puhutaan ainakin singulariteettien hajottamisesta ja algebrallisista ryhmistä. Tehdään tehtäviä.

Materiaali

Kurssikirja

Opetus perustuu Igor Shafarevichin kirjoihin Basic Algebraic Geometry 1 ja 2 (Springer-Verlag 1994, 2. painos). Tekstiin tutustuminen on jokaisen opiskelijan omalla vastuulla. Kopioita olennaisista luvuista voi tiedustella luennoitsijalta.

Lukemista johdattelevia kysymyksiä

Etsi kirjasta ennakkoon vastaukset näihin kysymyksiin. (Luennolla oletetaan, että olet tehnyt tämän.)

Viikko 16.-20.9.:

  • Miten määritellään jaoton (irreducible) suljettu joukko?
  • Mitä voit sanoa jaottoman suljetun joukon ideaalista (tai koordinaattirenkaasta)?
  • Mitä voit sanoa pistejoukosta, jossa rationaalifunktio on säännöllinen?
  • Jos kahden joukon rationaalifunktioiden joukot k(X) ja k(Y) ovat samat, ovatko joukot X ja Y isomorfiset?
  • Mikä on projektiivinen avaruus ja mitä ovat homogeeniset koordinaatit (ks. luvut 1.6 ja 4.1)?

Ennakkotehtävät

Näiden tehtävien avulla voi varmistaa omat esitietonsa ennen kurssin alkua: johdatustehtavia1_alggeom_s13.pdf.

Harjoitustehtävät

Kaikki tehtävät kirjan luvuista I.2, I.3, I.4 ja II.1.

Ohjeita luvun I.2 tehtäviin.

Ohjeita luvun I.3 tehtäviin.

Ohjeita luvun I.4 tehtäviin.

Ohjeita luvun II.1 tehtäviin 1-10 (lisää ilmestyy myöhemmin).

Tutkielman aiheita

Oheisessa tiedostossa on joitakin mahdollisia tutkielman aiheita (lista on vasta alustava): tutkielmanAiheita.pdf.

Muuta kirjallisuutta

  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer 1997
  • L. Kahanpää, K. E. Smith, P. Kekäläinen: Johdattelua algebralliseen geometriaan, Otatieto 2000

Jatkokurssi

Skeemaseminaari, syksy 2013

Ilmoittaudu kurssille

Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!