Topologia II, kevät 2013: luentopäiväkirja

Viikko 18 (29.4.)

Katsaus yhtenäisten joukkojen ominaisuuksiin ja polkuyhtenäisyyteen. Kirjan kohdat 13.6-13.23 (valikoiden ja ylimalkaisesti).

Viikko 17

Urysonin lemma ja upotuslause. Metristys. Tietzen jatkolause. Yhtenäisen avaruuden määritelmä. Kirjan jakso 19 (ei 19.6) ja kohdat 20.1-20.3 sekä 13.1-13.5.

Viikko 16

Kompaktius ja kasautumispisteet. Lokaali kompaktius. Bairen lause lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa. Yhden pisteen kompaktisointi. Tihonovin lause. Kirjan kohdat 15.20-15.22, 17.1-17.9, 18.4 ja 18.5.

Viikko 15

Kompakti avaruus. Heine-Borelin lause. Kompaktius Hausdorffin avaruudessa. Kompaktius ja jatkuva kuvaus. Jonokompaktius. Kompaktiuden ja jonokompaktiuden ekvivalenssi metrisessä avaruudessa. Kirjan kohdat 15.1-15.7, 15.11-15.19, 15.26 ja 16.1-16.5.

Viikko 14

Pääsiäisloma; ei opetusta.

Viikko 13

Numeroituvuus (joukko-oppia). N1- ja N2-ominaisuus. Separoituvuus. Lindelöf-ominaisuus. Kirjan kohdat 12.1-12.20, 12.22 ja 12.23.

Viikko 12

Bairen lause (jatkoa). Erotteluaksiomat. Kirjan kohdat 10.9 ja 10.10 (huom. tasaista suppenemista ei käsitelty) ja jakso 11.

Viikko 11

Kuvauksen kanoninen hajotelma. Metriset ja metristyvät avaruudet. Täydellisyys ja Bairen lause. Kirjan kohdat 9.6, 9.8-9.12, 10.1-10.6 ja 10.8.

Viikko 10

Väliviikko; ei opetusta.

Viikko 9

Koindusointi (jatkoa). Ositus ja ekvivalenssirelaatio. Tekijäavaruus. Kirjan jakso 8 loppuun ja kohdat 9.1-9.5.

Viikko 8

Tulotopologia (jatkoa). Tulotopologia ja kuvaukset: komponenttikuvaus ja tulokuvaus. Koindusointi. Kirjan kohdat 7.6, 7.7 ja 7.9-7.15 (huom. käsittelemättä jäivät mm. kompakti-avoin topologia, Cantorin joukko ja inverssi raja). Lisäksi kirjan kohdat 8.1 ja 8.2.

Viikko 7

Kuvauksen rajoittuma (jatkoa). Upotus. Indusointi kuvausperheen avulla. Esimerkkinä normiavaruuden heikko topologia. Tulotopologian määritelmä. Kirjan kohdat 5.13-5.16, luku 6 ja kohdat 7.1, 7.3-7.5.

Viikko 6

Avoin ja suljettu kuvaus (jatkoa). Homeomorfismi. Topologian indusointi yhden kuvauksen avulla. Relatiivitopologia. Kuvauksen rajoittuma. Kirjan kohdat 3.9-3.13, luku 4 ja kohdat 5.1-5.12.

Viikko 5

Esikanta, viritys ja ympäristökanta. Jonojen suppeneminen. Jatkuva kuvaus ja siihen liittyviä peruslauseita. Avoin ja suljettu kuvaus. Kirjan kohdat 2.13-2.20, 3.1-3.8 ja 3.14.

Viikko 4

Lisää peruskäsitteitä. Topologian kanta ja kantalause. Esimerkkinä mm. R:n "puoliavoin topologia". Kirjan kohdat 1.11-1.15 ja 2.1-2.12; ei kohtaa 2.11.2 (järjestystopologia).

Viikko 3

Topologinen avaruus ja siihen liittyviä peruskäsitteitä. Suhde metriseen avaruuteen. Kirjan kohdat 1.1-1.13.