Topologia II, kevät 2012: luentopäiväkirja

Viikko 18 (ma 30.4.)

Katsaus yhtenäisten joukkojen ominaisuuksiin, lokaaliin yhtenäisyyteen ja polkuyhtenäisyyteen. Kirjan kohdat 13.7-13.30 (valikoiden ja ylimalkaisesti).

Viikko 17

Urysonin lemma ja upotuslause. Metristys. Tietzen jatkolause. Yhtenäisen avaruuden ja joukon määritelmät. Kirjan jakso 19 (ei 19.6) ja kohdat 20.1-20.3 sekä 13.1-13.6.

Viikko 16

Lokaali kompaktius. Bairen lause lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa. Yhden pisteen kompaktisointi. Tihonovin lause. Kirjan kohdat 17.1-17.9, 18.4 ja 18.5.

Viikko 15

Pääsiäisloma, ei luentoja.

Viikko 14

Kompakti avaruus. Heine-Borelin lause. Kompaktius Hausdorffin avaruudessa. Kompaktius ja jatkuva kuvaus. Jonokompaktius. Kompaktiuden ja jonokompaktiuden ekvivalenssi metrisessä avaruudessa. Kirjan kohdat 15.1-15.7, 15.10-15.22, 15.26 ja 16.1-16.5.

Viikko 13

N1- ja N2-ominaisuus (jatkoa). Lindelöf-ominaisuus. Separoituvuus. Numeroituvuusaksiomien yhtäpitävyys metristyvässä avaruudessa. Kirjan kohdat 12.7-12.23.

Viikko 12

Erotteluaksiomat. Numeroituvuuden käsite. N1- ja N2-ominaisuus. Kirjan jakso 11 ja kohdat 12.1-12.6.

Viikko 11

Metriset ja metristyvät avaruudet. Täydellisyys ja Bairen lause. Tasainen suppeneminen. Kirjan jakso 10, ei kuitenkaan kohtia 10.7, 10.11.3 ja 10.16-10.20.

Viikko 10

Väliviikko, ei opetusta.

Viikko 9

Koindusointi (jatkoa). Ositus ja ekvivalenssirelaatio. Kuvauksen kanoninen hajotelma. Tekijäavaruus. Kirjan jakso 8 loppuun ja jakso 9 (ei kohtia 9.13 ja 9.14).

Viikko 8

Tulotopologia (jatkoa). Tulotopologia ja kuvaukset: komponenttikuvaus ja tulokuvaus. Koindusointi. Kirjan kohdat 7.7, 7.9, 7.10, 7.13, 7.19 ja 7.20 (huom. käsittelemättä jäivät mm. kompakti-avoin topologia, Cantorin joukko ja inverssi raja). Lisäksi kirjan kohdat 8.1-8.4.

Viikko 7

Kuvauksen rajoittuma (jatkoa). Upotus. Indusointi kuvausperheen avulla. Esimerkkinä normiavaruuden heikko topologia. Tulotopologia. Kirjan kohdat 5.13-5.16, luku 6 ja kohdat 7.1, 7.3-7.6, 7.11, 7.12, 7.14 ja 7.15.

Viikko 6

Avoin ja suljettu kuvaus (jatkoa). Homeomorfismi. Topologian indusointi yhden kuvauksen avulla. Relatiivitopologia. Kuvauksen rajoittuma. Kirjan kohdat 3.9-3.13, luku 4 ja kohdat 5.1-5.12.

Viikko 5

Esikanta, viritys ja ympäristökanta. Jonojen suppeneminen. Jatkuva kuvaus ja siihen liittyviä peruslauseita. Avoin ja suljettu kuvaus. Kirjan kohdat 2.13-2.20, 3.1-3.8 (ei 3.7) ja 3.14.

Viikko 4

Lisää peruskäsitteitä. Topologian kanta ja kantalause. Esimerkkinä mm. R:n "puoliavoin topologia". Kirjan kohdat 1.11-1.15 ja 2.1-2.12; ei kohtaa 2.11.2 (järjestystopologia).

Viikko 3

Topologinen avaruus ja siihen liittyviä peruskäsitteitä. Suhde metriseen avaruuteen. Kirjan kohdat 1.1-1.10.