Differentiaaliyhtälöt II, syksy 2010

Luennoitsija

Jari Taskinen

Ajankohtaista

-

Kurssista

Kurssin laajuus on 5 op., ja se kuuluu aineopintoihin. Esitietovaatimuksena kurssi Differentiaaliyhtälöt I sekä analyysin (potenssisarjat yms.) ja lineaarialgebran alkeet. Taustatietoja kuitenkin kerrataan tarpeen mukaan.
 Differentiaaliyhtälöt tarjoavat tavan mallintaa matemaattisesti mitä erilaisimpia ilmiöitä eri sovellutusalueilla. Ne ovat toisaalta myös olennainen osa monia puhtaan matematiikan, erityisesti analyysin, alueita.
 Kurssi on jatkoa ykkösosalle, ja sen sisältönä ovat yhtälösysteemit (erityisesti 1. kertaluvun lineaariset systeemit) sekä potenssisarjamenetelmä lineaarisille 2. kertaluvun yhtälöille; erikoistapauksena Legendren ja Besselin yhtälöt.

Luentoajat

Viikot 44-49 ti 10-12, ke 12-14, to 12-14 B123, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Torstain luento pidetään joka toinen viikko: 11.11, 25.11 ja 9.12.

Kokeet

• Kurssikoe ti 14.12. 13-15 Exactumin auditorioissa
• Korvaava kurssikoe to 16.12 13-15 A111. Tähän kokeeseen voi osallistua ainoastaan, mikäli ei pääse varsinaiseen kokeeseen painavan syyn takia (sairaus, toinen tentti yms.; selvitys esitettävä). Ilmoittautuminen luennoitsijalle ti 14.12 mennessä, mielummin aiemmin.

Kirjallisuus

Kurssin alkuosa seuraa monistetta Mats Gyllenberg, Petri Ola ja Petteri Piiroinen: Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Oheislukemistona Olli Martio ja Jukka Sarvas: Tavalliset differentiaaliyhtälöt (Gaudeamus); Polking, Boggess, Arnold: Differential equations with boundary value problems, Second Edition (Pearson Prentice Hall).

Seuraavassa luentojen loppuosa pdf-tiedostona:

Sarjamenetelmä, versio 3.2 Sama kuin versio 3.1, mutta painovirheitä korjattu.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset

Laskujen suorittamisesta on mahdollista saada lisäpisteitä, jotka lisätään kurssikokeen pisteisiin. Pistetaulukko: 10 tehtävää laskettu = 1 lisäpiste,
 15 teht. = 2 pist., 20 teht. = 3 pist., 25 teht. = 4 pist.

Tehtävät pdf-tiedostona:

Harjoitus 1
Harjoitus 2
Harjoitus 3
Harjoitus 4
Harjoitus 5
Lisätehtävät Huom. Muutamat näistä tehtävistä ovat tavanomaista vaativampia.

Luentopäiväkirja

ti 2.11. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemit, määritelmiä ja merkintöjä. Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälön redusointi ensimmäisen kertaluvun systeemiksi. Moniste, luvut 5.1-5.2.
 ke 3.11. Epälineaariset autonomiset systeemit, kriittinen piste, tasapainotila. Esimerkkejä systeemeistä: SIS- ja SIR-tartuntatautimallit. Moniste, luvut 5.3, 2.3.
 ti 9.11. Kertausta matriiseista ja matriisifunktioista. Lineaariset 1. kertaluvun systeemit, OY-lause ilman todistusta. Moniste, luvut 6.1, 6.2.
 ke 10.11. Lineaarisen systeemin ratkaisujen perusjärjestelmä, Wronskin determinantti.
 to 11.11. Vakiokertoiminen lineaarinen homogeenisysteemi: eliminointimenetelmä. Johdatusta matriisimenetelmään: kertausta matriisin ominaisarvoista ja -vektoreista. Näiden määräämä systeemin ratkaisu.
 ti 16.11. Matriisimenetelmä: systeemin perusjärjestelmän laskeminen, kun kerroinmatriisilla on n kpl lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita.
 ke 17.11. Matriisieksponentti ja sen yhteys lineaariseen vakiokertoimiseen systeemiin. Ominaisarvon algebrallinen ja geometrinen kertaluku. (Oheislukemisto.)
 ti 23.11. Yleistetty ominaisvektori ja sen käyttö systeemin perusjärjestelmän määrittämiseksi. (Oheislukemisto.)
 ke 24.11. Kompleksiset ominaisarvot 2x2- ja 3x3-systeemeissä.
 to 25.11. Ei-homogeeninen lineaarinen systeemi: vakion variointi-menetelmä.
 ke 1.12. Johdatusta potenssisarjamenetelmään; materiaali saatavissa yllä.
 ti 7.12. Sarjaratkaisu säännöllisen pisteen ympäristössä.
 ke 8.12. Eulerin yhtälö, johdatusta Frobeniuksen menetelmään.

Opintopiiri

Opintopiirin viimeinen kokoontuminen pe 10.12 klo 14-16 luokassa DK117. (Huom. aika.) Kertausta koetta varten. Vetäjänä Eveliina Peltola.

Muuta

Differentiaaliyhtälöt I ja II vastaavat yhdessä aiempaa kurssia Differentiaaliyhtälöt.