Hyperreaaliluvut, kevät 2011
Hyperreaaliluvut, kevät 2011
Luennoitsija
Laajuus
5 op.
Tyyppi
Syventävä opinto
Esitietovaatimukset
Kurssia on mahdollista seurata kurssien Analyysi I ja Analyysi II pohjalta, sillä mm. tarvittava logiikka ja joukko-oppi esitellään kurssin aikana. Tottumuksesta abstraktiin matemaattiseen ajatteluun on luonnollisesti hyötyä.
Luentoajat
III ja IV periodi. Opetusta on keskimäärin kolmena maanantaina
kuukaudessa neljä tuntia päivässä klo 10-12 salissa B120 ja klo 14-16
salissa C122. Tästä luentoja on kaksi kolmasosaa ja harjoituksia
yksi kolmasosa sovittavina aikoina. Ensimmäinen luentokerta on 17.1.
Pääsiäisloma 21.-27.4.
Kokeet
Kurssi suoritetaan loppukokeella, harjoitusaktiivisuudesta voi saada lisäpisteitä
korkeintaan yhden koetehtävän verran (kaikkiaan viidestä tehtävästä).
Sisältö
Hyperreaalilukujen järjestetty kunta voidaan tulkita tavallisen reaalilukujoukon laajennukseksi, joka sisältää myös äärettömän suuria ja infinitesimaalisen pieniä alkioita. Kurssi käsittelee tällaisen rakenteen perusteoriaa ja toimii samalla johdantona ns. epästandardiin analyysiin. Epästandardi analyysi on Abraham Robinsonin 1960-luvulla löytämä lähestymistapa mm. analyysin rajaprosessien käsittelyyn entistä havainnollisemmalla tavalla. Nykyään teorialla on tärkeitä sovelluksia mm. stokastiikkaan ja matemaattiseen fysiikkaan.
Käsiteltäviä aihepiirejä:
Dedekind-täydellisyyden, Cauchy-täydellisyyden ja Arkhimedeen ominaisuuden yhteys. Reaaliluvut Dedekind-täydellisenä järjestettynä kuntana. Matemaattisen logiikan alkeita. Filtterit ja ultrafiltterit. Hyperreaalilukujen joukon konstruktio ultrapotenssina ja niiden perusominaisuudet. Epästandardien laajennusten käytöstä alkeisanalyysissä. Epästandardin analyysin siirtoperiaate ja sen sovelluksia.
Kurssimateriaali
Oppikirjoja:
R. Goldblatt, "Lectures on the hyperreals, an introduction to nonstandard analysis", Springer 1998.
R. F. Hoskins, "Standard and nonstandard analysis", Ellis Horwood, 1990.
A. E. Hurd and P. A. Loeb, "An introduction to nonstandard real analysis", Academic Press, Inc., 1985.
Kurssi perustuu luentomonisteeseen eikä seuraa mitään tiettyä oppikirjaa.
Ilmoittaudu
Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.