Johdatus differentiaaligeometriaan, syksy 2006

Luennoitsija

Dos. Ilkka Holopainen

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Vektorianalyysi (Differentiaali- ja integraalilaskenta II), Topologia I, Lineaarialgebra ja matriisilaskenta (Lineaarialgebra I). Topologia II:n, Lineaarialgebra II:n ja Differentiaaliyhtälöiden tuntemus on hyödyksi, muttei välttämätöntä.

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 ma 14-16, pe 12-14 C124. Luennot alkavat perjantaina 8.9.2006.
 Maanantaina 11.9.2006 ei ole luentoja yliopiston avajaisten takia.
 Luennot päättyvät 8.12. Viikolla 50 (ma 11.12 ja pe 15.12) ei ole luentoja.

Suoritustapa

Kurssi voidaan suorittaa joko loppukokeella tai vaihtoehtoisesti tekemällä kirjallisia laskuharjoitustehtäviä, jotka arvostellaan.

Kurssikuvaus

"Johdatus differentiaaligeometriaan" soveltuu valinnaiseksi erikoiskurssiksi matematiikan laudatur-oppimäärään Matemaatikon suuntautumisvaihtoehdossa.
 Kurssilla käsitellään differentioituvien monistojen perusteoriaa ja tutustutaan mm. differentiaalimuotoihin sekä niiden käyttöön.
 Alustava sisältö:

• Sileät monistot
• Sileät kuvaukset
• Tangenttikimppu
• Kotangenttikimppu
• Tensorit
• Differentiaalimuodot
• Integrointi monistoilla
• De Rham kohomologia
• Integraalikäyrät ja virtaukset
• Lie derivaatat
• Lie algebrat ja ryhmät

Ylläoleva lista on vain alustava suunnitelma, joten kaikkea ei luultavasti käydä läpi kurssilla.

Kurssimateriaali

John M. Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

Luennot seuraavat pääosin luentomuistiinpanoja:
 Holopainen: Johdatus differentiaaligeometriaan, Syksy 2004,
 jotka voi imuroida täältä ps-muodossa tai pdf-muodossa.

Muuta kirjallisuutta:

• Abraham-Marsden-Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications, Springer, 1988.
• Berger-Gostiaux: Differential geometry: manifolds, curves, and surfaces
• Bishop-Crittenden: Geometry of manifolds, Academic Press, 1964
• Boothby: An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press, 1975.
• Chavel: Riemannian geometry: a modern introduction, Cambridge Univ. Press, 1993
• Cheeger-Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry, 1975
• DoCarmo: Riemannian geometry, Birkhäuser, 1992
• DoCarmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, 1976
• DoCarmo: Differential forms and applications, Springer, 1994
• Gallot-Hulin: Riemannian geometry, Springer
• Hicks: Notes in differential geometry, 1965
• Kobayashi-Nomizu: Foundations of differential geometry, Vol. I
• Lee: Riemannian manifolds, An Introduction to Curvature, Springer, 1997
• Madsen-Tornehave: From calculus to cohomology, Cambridge University Press, 1997
• Petersen: Riemannian geometry, Springer, 1998
• Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry, Vol. I,II,IV
• Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups