Kompleksianalyysi I, syksy 2013

Luennoitsija 

Kari Astala
  

Ajankohtaista

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Esitietoina tarvitaan kurssit Analyysi I ja Analyysi II sekä Vektorianalyysi. Lisäksi Topologia I on suositeltava.

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 ti 12-14, ke 10-12 C123.  Ensimmäinen luento tiistaina 3.9.

Lisäksi kurssiin sisältyy laskuharjoituksia 2 viikkotuntia, joita pitää Lauri Hitruhin. Ensimmäiset harjoitukset ma 9.9.

Kurssin sisällöstä

Kurssi käsittelee analyysiä kompleksiluvuilla; erityisesti tutkitaan funktioita joiden muuttujat (ja arvot) ovat kompleksilukuja - tällaisilla funktioilla on yllättävän vahvoja ominaisuuksia. Kompleksilukujen joukko voidaan ajatella tasona (nk. kompleksitasona), ja sitä kautta kompleksiluvuilla tehtävä analyysi yhdistyy myös kauniilla tavalla geometriaan.

Ensin johdamme tai kertaamme kompleksilukujen perusominaisuudet. Tämän jälkeen tutustumme kompleksilukuarvoisten funktioiden derivoimiseen ja integroimiseen. Kompleksifunktioiden derivoiminen on samanlaista kuin reaalifunktioilla, mutta integroiminen kompleksitasossa vaatii vektorianalyysissä käsiteltävää polkuintegrointia. Tulemme havaitsemaan, että kompleksisesti derivoituvilla funktioilla on monia erityisominaisuuksia, joita reaalifunktioilla ei yleensä ole.

Kompleksisesti derivoituvien funktioiden (nk. analyyttisten funktioiden) vahvojen ominaisuuksien vuoksi tällä aihepiirillä on runsaasti sovelluksia lähestulkoon kaikilla puhtaan ja soveltavan matematiikan alueilla, aina lukuteoriasta fysiikkaan ja insinööritieteisiin.

Kurssin sisältöä alustavasti:

• kompleksiluvut ja kompleksitason topologiaa
• analyyttisen funktion määritelmä ja perusominaisuudet
• eksponentti- ja logaritmifunktio
• Möbius-kuvaukset ja muut konformikuvaukset
• Cauchyn integraalilause ja integraalikaava
• analyyttisen funktion potenssisarjaesitys
• Liouvillen lause ja algebran peruslause
• maksimiperiaate ja Schwarzin lemma

Kokeet

Kurssilla on kaksi kurssikoetta.  1. koe:  ma 28.10. klo 14 - 16, sali B120   ja   2. koe:  ma 16.12  klo 13 - 15. 

Ensimmäinen välikoe ratkaisuehdotuksineen: välikoe 1.

Ensimmäisen välikokeen tulokset.   Kokeen keskiarvo: 17,66 / 24

Toinen välikoe ratkaisuehdotuksineen: välikoe 2.

Toisen välikokeen tulokset.   Kokeen keskiarvo: 17,60 / 24

Kurssiin liittyvä loppukoe järjestetään 23.1.2014.

Luentomuistiinpanot

Kurssin etenemisen myötä muistiinpanot tulevat kurssisivulle. Tässä luentomuistiinpanot kokonaisuudessaan; sisältää toisen kurssikokeen alueen kertauksen tiivistelmän. 

Kirjallisuus

Esim. seuraavia kirjoja voi soveltuvin osin käyttää kurssin tukena.

   J.B. Conway: Functions of One Complex Variable I (2nd ed.), Springer, 1978.

   R. E. Greene & S. G. Krantz: Function Theory of One Complex Variable (2nd ed.), AMS, 2002.

   O. Lehto: Funktioteoria I--II, Limes ry, 1982.

   B. Palka: An Introduction to Complex Function Theory, Springer, 1991.

   W. Rudin: Real and Complex Analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, 1987. 

Ilmoittaudu kurssille

Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitustehtävät

Laskuharjoitukset

Harjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:

25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.