KursdagbokAnalysIh12
Kursdagbok hösten 2012
Denna sida innehåller information om det material som behandlats på föreläsningarna (sidan uppdateras efter föreläsningarna). Hänvisningar o.d. är till kompendiets numrering. En mapp innehållande föreläsningarna till Analys I från hösten 2006 finns i rum C326 (innehållet år 2012 följer på några ställen en litet annan ordning och andra exempel) .
tis 4.9. Praktisk information. (Kapitel 0.) Mängder (repetition och påminnelse). (Kapitel 1.) Rationella tal och deras egenskaper. Kvadratroten av 2 är inte ett rationellt tal (dvs. irrationella tal existerar).
ons 5.9. De reella talen: några alternativa definitioner. De fundamentala egenskaperna (= axiomen) för reella tal. Några vanliga räkneregler för reella tal. Olikheter. Absolutbeloppet och några egenskaper.
tor 6.9. Olikheter med absolutbelopp. Triangelolikheterna: formulering, geometrisk tolkning och bevis. Exempel på tillämpningar av triangelolikheterna (också uppskattning nedåt). Induktionsprincipen.
tis 11.9. Exempel hur induktionsprincipen används. Vidare exempel med olikheter. Övre och undre gränser till mängder, begränsade och obegränsade mängder. Största och minsta tal i en given mängd. Exempel.
ons 12.9. Varje ändlig mängd av reella tal har ett största och minsta tal. Definitionen av supremum (= minsta övre gräns) och infimum (= största undre gräns) till given mängd. Enkla exempel. Teori: epsilon-kriteriet för supremum och exempel där kriteriet tillämpas.
tor 13.9. epsilon-kriteriet för infimum med exempel. Fullständighetsaxiomet för reella talen. Argument att kvadratroten av 2 existerar som ett reellt tal på basen av axiomen. Fråga: hur ligger rationella talen på tallinjen?
tis 18.9. Arkhimedes sats med tillämpningar: mellan varje par av reella tal finns både rationella och irrationella tal. (Kapitel 2 = kapitel 4 i kompendiet) Talföljder: vad avses. epsilon-definitionen av gränsvärdet till en talföljd. Första exempel på talföljder som konvergerar.
ons 19.9. Vidare exempel. Vad betyder att en talföljd divergerar? Entydigheten av gränsvärdet. Nödvändiga villkor för konvergens av talföljder: Sats 4.2, samt att konvergerande talföljder är begränsade. Exempel på divergerande talföljder.
tor 20.9. Principen om olikheters bevarande för gränsvärden. Instängningsprincipen (Sats 4.11) med exempel. Algebraiska räkneregler (Sats 4.7) för gränsvärden: summa-, produkt- och kvotregeln, samt exempel hur räknereglerna används. Bevis av summa- och produktregeln.
tis 25.9. Bevis av kvotregeln för gränsvärden. Vidare exempel. Monotona talföljder (växande eller avtagande följder). Karakterisering av konvergensen av växande talföljder.
ons 26.9. Konvergensen av avtagande talföljder. Exempel: rekursivt definierade talföljder, inklusive approximering av roten av 3. Bernoullis olikhet (s. 7). Sats 4.10 och definitionen av Nepers tal e.
tor 27.9. Delföljder av en given talföljd. Delföljdssatsen (= Bolzano-Weierstrass): varje begränsad talföljd har en konvergerande delföljd. Hjälpsats: varje talföljd har en monoton delföljd. Cauchys allmänna konvergenskriterium (Sats 4.13).
tis 2.10. Oegentliga gränsvärden: talföljder som växer eller avtar obegränsat (dvs. divergens mot +/- oändligheten), samt räknade exempel. (Kapitel 3.) Påminnelse: allmänt om avbildningar (= funktioner). Motiverande exempel om gränsvärdet för en funktion. Hur definiera gränsvärdet exakt?
ons 3.10. (epsilon,delta) definitionen av gränsvärdet för en funktion i en given punkt. Olika exempel på gränsvärde för funktioner. Specialfall av gränsvärdet: derivatan. Ett nödvändigt villkor för existensen av gränsvärdet (Sats 5.2). Exempel där gränsvärdet saknas.
tor 4.10. Bevis av Sats 5.2 och vidare exempel där gränsvärdet saknas. Gränsvärdet är entydigt (ifall det existerar). Sats 5.5: om funktionen har ett gränsvärde i en punkt så är funktionen begränsad nära punkten. Algebraiska räkneregler (Sats 5.4) för funktioners gränsvärden. Bevis av summa- och produktregeln, samt motiverande exempel.
tis 9.10. Bevis av kvotregeln, samt vidare exempel där räknereglerna tillämpas. Generaliseringar av gränsvärdesbegreppet: höger- och vänstergränsvärden, samt exempel. Gränsvärdet i plus oändligheten och minus oändligheten med exempel.
ons 10.10. Räkneregler och vidare exempel på gränsvärdet i oändligheten och minus oändligheten. Oegentliga gränsvärden av funktioner: olika definitioner och varierande exempel.
tor 11.10. Översikt av provområdet samt urval tidigare provuppgifter. (Vidare lösta uppgifter finns för kopiering i mappen Analys I: hösten 2006 i rum C326.)
II. perioden
tis 30.10. Monotona funktioner (dvs. växande eller avtagande funktioner) samt exempel. Gränsvärdet för monotona funktioner (Sats 5.9). (Kapitel 4.) Definitionen av funktioners kontinuitet. Exempel på kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner.
ons 31.10. Flera exempel. Algebraiska räkneregler som bevarar kontinuitet av funktioner (nya kontinuerliga funktioner från givna). Exempel: polynom och rationella funktioner är kontinuerliga. Kontinuiteten av sammansatta funktioner.
tor 1.11. Exempel: kontinuitet av sammansatta funktioner. Fundamentala egenskaper hos kontinuerliga funktioner: Bolzanos sats och satsen om mellanliggande värden. Exempel på tillämpningar: rötter av polynom och fixpunkter för en kontinuerlig funktion.
tis 6.11. Största och minsta värdet för en funktion i en given mängd. (Weierstrass) min-maxsats: varje kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall har ett största och ett minsta värde. Hjälpsats: (Sats 5.3: (1) implicerar (2)). Bevis av min-maxsatsen. Exempel på tillämpningar och begränsningar av min-maxsatsen.
ons 7.11. Vidare exempel med min-maxsatsen. Allmänt om avbildningar: injektioner, surjektioner, bijektioner. Inversa avbildningen till en bijektion. Sats 6.9 formulerad: om f är strängt monoton och kontinuerlig på ett intervall, så är bildmängden ett intervall och inversen till f är kontinuerlig. Motiverande exempel: n:te roten av x.
tor 8.11. Bevis av Sats 6.9. Exempel på kontinuitet av inversa funktioner. (Kapitel 5) Derivatan av en funktion i en punkt: definition och geometrisk tolkning.
tis 13.11. Karakterisering av derivatan som linjär approximering (Sats 7.1). Deriverbara funktioner är kontinuerliga (i punkter där derivatan existerar). Deriveringsregler: derivatan av summa- och produktfunktioner, samt exempel.
ond 14.11. Kvotregeln för derivatan samt exempel. Kedjeregeln: derivatan av en sammansatt funktion och olika exempel. Derivatan av en invers funktion: formulering och minnesregel.
tor 15.11. Bevis av deriveringsformeln för inversa funktioner och exempel. Andra typer av derivator: högre derivator, höger- och vänsterderivata. Tillämpningar av derivatan. Derivatans tecken och lokala egenskaper hos funktionen (Lemma 8.1).
tis 20.11. Om funktion är deriverbar i inre punkt där maximum eller minimum antas, så måste derivatan vara noll i denna punkt (Kor. 8.2). Rolles sats med tillämpning. Medelvärdessatsen (MVS). Tillämpningar: integralkalkylens fundamentalsats och medelvärdesolikheterna.
ons 21.11. Feluppskattning med hjälp av MVS. Monotonicitetskriterier med hjälp av derivatan. Version för strängt monotona funktioner. Exempel. Lokala extremvärdespunkter och lokala extremvärden (definition).
tor 22.11. Derivatatest för lokala extremvärden (Sats 8.8 och 8.9), samt exempel. Test med andra derivatan för lokala extremvärden (Sats 8.10) samt exempel. Sammanfattning: vad bör undersökas när man söker maximum eller minimum för en given funktion i ett intervall.
tis 27.11. Exempel där minimum eller maximum bestäms. Konvexa och konkava funktioner: definition och karakterisering med hjälp av andra derivatan (Sats 8.13). Inflexionspunkter. Exempel på konvexa eller konkava funktioner.
ons 28.11. L'Hospitals regel (enkla formen) och exempel. (Kapitel 6.) Hur definiera exponentialfunktionen e^x? Steg 1: egenskaper av e^r för rationella tal r. Steg 2: definitionen av e^x för reella tal x. Egenskaper: additionsformeln.
tor 29.11. Exponentialfunktionen e^x är strängt växande, kontinuerlig och deriverbar i R. Derivatan D(e^x) = e^x för varje x. Exponentialfunktionen växer snabbare än varje polynom. Logaritmfunktionen och dess basegenskaper.
tis 4.12. Generaliserade exponential- och potensfunktioner. Tillämpning: (1 + a/x)^x konvergerar mot e^a då x går mot oändligheten. Hyperboliska funktioner och deras inversa funktioner (areafunktionerna). Trigonometriska funktioner: axiomatisk definition av sinus och cosinus. Sinus och cosinus är kontinuerliga och deriverbara i R.
ons 5.12. Periodiciteten av sinus och cosinus. Tangentfunktionen. Kortfattat om arkusfunktionerna (inversa funktioner till de trigonometriska funktionerna) och deras derivator. Översikt av provområdet.
Här finns övningsmaterial som behandlar väsentliga delar av kursen till genomgång för (material från år 2009), och , samt motsvarande material för (från år 2010) tillsammans med och . En mapp innehållande tidigare kursprov finns också för kopiering i rum C326.