Todennäköisyysteoria I, kevät 2015

Luennoitsija 

Dario Gasbarra   (vastaanottoaika  maanantaisin kello 12-14   B314)

Laajuus

5 op.

 Todennäköisyysteoria I ja II yhdessä vastaavat tutkintovaatimuksissa esiintyvää 10 op:n kurssia Todennäköisyysteoria. Todennäköisyysteorian II luennoidaan neljännellä periodilla. 

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Analyysi I-II; Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I; Vektorianalyysi.

Hyödyllisiä kursseja (muttei tarvita varsinaisesti esitiedoiksi): Johdatus todennäköisyyslaskentaan; Funktionaalianalyysin peruskurssi; Mitta ja integraali.

Luentoajat

Viikot 3-9, ti 12-14 C124 ja to 10-12 B120. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Ensimmäinen luento tiistaina 13.1

Laskupaja-toiminta

Tiistaisin kello 15.00 alkaen  III kerroksen käytävällä. Dario  päivystää ja neuvoo harjoitustehtävien laskemisestä.

Kokeet

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskuharjioituksiin osallistuminen ei ole pakollinen. Opiskelijan aktiivinen osallistuminen nostaa arvosanaa. Tenttikysymyksiä ja malliratkaisuja:  25.2.2015 ,11.3.2015, 30.3.2015.

Kurssikoe:  tiistaina 5.5  kello 9-13  D123  salissa.  Silloin voi tenttia myös Todennäköisyysteoria II  kurssin osaa.

Siitä seuraava koe pidetään 20.5 yleistenttitilaisuudessa.

 Sisältö

Johdanto: Miksi todennäköisyydet ovat additiivisia ? De Finettin rahoitusteoreettinen  tulkinta: todennäköisyys on hinta.
 Todennäköisyys ja satunnaismuuttujat: σ-algebrat, Kolmogorovin aksioomat. Todennäköisyys-mitan laajennus ja Dynkinin lause.Sovellus: tulo  σ-algebra ja tulo mitta. Satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat, kertymäfunktio, tiheysfunktio.

Poissonin, Eksponentiaalinen ja Gaussinen jakaumat. Moniulotteinen Gaussinen jakauma. Monotonisen luokan lause. Charatheodoryn laajennus lause. Sovellus: Kolmogorovin laajennus lause ääretön-ulotteisessa tuloavaruudessa, stokastiset prosessit.  Riippumattomus, Borel-Cantellin lemmat. Esimerkki: Markovin ketjun konstruktio.

 Satunnaismuuttujen jonon melkein varma konvergenssi. Odotusarvo. Lebesgue-Stieltjes Riemannin-Stieltjes integraalin yleistyksenä.  Monotonisen konvergenssin lause, Fatou lemma, Lebesguen dominoidun konvergenssin lause.  Todennäköisyysmitan vaihto-kaava, uskottavuusosamäärä, Lebesguen hajotelma. Elementaarinen ehdollinen todennäköisyys. Fubinin lause ja tulo-integraali,osittaisintegroinnin kaava.

Stokastinen konvergenssi. Chebychevin epäyhtälö ja heikko suurten lukujen laki. Johdatus Cramerin suurten poikkeamien teoriaan. Momentti generoiva funktio. Konveksin analyysin alkeita, Jensenin epäyhtälö, Legendren muunnos. Cramerin lause.

Opetusmateriaalit

luennoitsijan luentomoniste (päivitetty 30.3.2015), harjoitustehtävät.

Vapaasti saatavissa luentomonisteet:

T. Sottinen:  Todennäköisyysteoria, 2006.

E. Valkeila: Todennäköisyysteoria, 2001. 

Vanhat todennäköisyysteorian kurssisivut: kevät 2009 syksy 2009, syksy 2012, syksy 2013. Vanhat koepaperit

Kirjallisuus

G. Elfving - P. Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II, Limes.

J.Jacod- P.Protter: Probability Essentials.

D. Williams: Probability with Martingales.

Suositellaan myös

E. Çinlar: Probability and Stochastics, Springer Graduate Texts in Mathematics, 2011.

O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability.

L. Koralov, Y. Sinai: Theory of Probability and Random Processes, Springer 2007.

P Malliavin, H Airault, L Kay, G Letac: Integration and Probability

A.N. Shiryaev: Probability  Springer.

A.N. Shiryaev: Problems in Probability, Springer 2012

Ilmoittaudu kurssille

Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset