Todennäköisyysteoria II, kevät 2015

Luennoitsija 

Dario Gasbarra

Laajuus

5 op.

Todennäköisyysteoria I ja II yhdessä vastaavat tutkintovaatimuksissa esiintyvää 10 op:n kurssia Todennäköisyysteoria. Todennäköisyysteorian I luennoidaan kolmannella periodilla.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Todennäköisyysteoria I tai Mitta ja integraali (esitietoineen).

Luentoajat

Viikot 11-18, ti 12-14 C124 ja to 10-12 B120. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Ensimmäinen luento tiistaina 10.3.

Pääsiäisloma 2.-8.4.

Laskupaja-toiminta

Tiistaisin kello 13-15  III kerroksen käytävällä. Dario päivystää ja neuvoo harjoitustehtävien laskemisestä. 

Kokeet

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskuharjioituksiin osallistuminen ei ole pakollinen. Opiskelijan atkiivinen osallistuminen nostaa arvosanaa.

Kurssikoe:  tiistaina 5.5  kello 9-13  D123  salissa.  Silloin voi tenttia myös Todennäköisyysteoria I  kurssin osaa.

Siitä seuraava koe pidetään 20.5 yleistenttitilaisuudessa.

Sisältö

L^p(Ω) avaruudet: Epäyhtälöt : Jensen, Cauchy-Schwartzin, Hölder ja Minkowski. L^p avaruuden täydellisuus. Tasainen integroituvuus ja  L¹ konvergenssin karakterisaatio. L² teoria: Suunnikkaan ja polarisaatio identiteetti. Ortogonaalisuus ja projektio.

Ehdollinen odotusarvo: Ehdollinen odotusarvo L²-projektiona.Kolmogorovin määritelmä L¹ avaruudessa. Ehdollinen odotusarvo mittojen Radon-Nikodymin derivaattana. Ehdollisen odotusarvon ominaisuudet . Säännöllinen ehdollinen todennäköisyys ja ytimet .Ehdollisen odotusarvon laskenta riippumattomuuden oletuksen nojalla.Ehdollisen odotusarvon laskenta mitan-vaihdon avulla: Bayesin kaava.

Filtraatiot  ja Martingaalit. Martingaali muunnos. Pysäytys-hetki. Doobin etuperäinen martingaali konvergenssi lause. Tasaisesti integroituvat martingaalit.Doobin takaperäinen martingaali-konvergenssi lause. Kolmogorovin 0-1 laki ja vahva suurten lukujen laki. Vaihdettavuus ja De Finettin lause. L² martingaalit. Doobin hajotelma. Doobin optionaalisen otannan ja pysäytys-lauseita. Mitan vaihto kaavat ja Radon-Nikodymin lause. Uskottavuus osamäärän prosessi. Martingaalin maksimaaliset epäyhtälöt.Sovellus: Black ja Scholesin optio-hinnoittelu kaava binomi-puu markkinamallissa.

Opetusmateriaalit

luennoitsijan luentomoniste  (päivitetty 14.4.2015)   laskuharjoituksia 

Vapaasti saatavissa luentomonisteet:

T. Sottinen:  Todennäköisyysteoria, 2006.

E. Valkeila: Todennäköisyysteoria, 2001. 

Vanhat todennäköisyysteorian kurssisivut: kevät 2009 syksy 2009, syksy 2012 syksy 2013. 

Vanhat koepaperit,  Vanhat koepaperit laitoksen sivulta

Kirjallisuus

G. Elfving - P. Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II, Limes.

J.Jacod- P.Protter: Probability Essentials.

D. Williams: Probability with Martingales.

Suositellaan myös

E. Çinlar: Probability and Stochastics, Springer Graduate Texts in Mathematics, 2011.

O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability.

L. Koralov, Y. Sinai: Theory of Probability and Random Processes, Springer 2007.

P Malliavin, H Airault, L Kay, G Letac: Integration and Probability

A.N. Shiryaev: Probability.

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset