Luentopäiväkirja (Geometria, kevät 2014)

Ke 15.1.2014

• Kurssin käytännöt, sisällöt ja tavoitteet
• Geometria historiallisesta näkökulmasta
• Geometria koulun OPS:ssa
• luento1.pdf(luennolla keskustelun tukena olleet slidet)

Pe 17.1.2014

• Saatoimme loppuun OPS- ja oppikirjakartoituksemme, jolla loimme kuvaa koulussa opetettavan geometrian sisältöihin.
  
  • ops_pohdinnat.pdf
• Lähdimme katsomaan aksiomaattisen tasogeometrian peruslähtökohtia
  • Lehtisen materiaalista aksioomat 1-6 (Liittymis- ja järjestysaksioomat)
  • Lehtisen materiaalissa esitetyt liittymis- ja järjestysaksioomien seurauslauseet
  • Erityisesti katselimme todistusta lauseelle "Jos A ja C ovat eri pisteitä, on olemassa piste, joka on A:n ja C:n välissä"
• Muistelimme, mitä ovat relaatiot ja ekvivalenssirelaatiot. (Geometriassa on paljon ekvivalenssirelaatioita...) Palaamme tähän ensi keskiviikkona ja tarkennan hieman epämääräiseksi jääneitä "huiteluita" ja "sekoiluja"

Ke 22.1.2014

• Katsoimme tarkemmin ekvivalenssirelaatiota: ekvivalenssirelaation määritelmä, sen "tarjoama" ositus eli ekvivalenssiluokat jne.
• Näytimme, että suora a jakaa siihen kuulumattomat tason pisteet kahteen erilliseen joukkoon:
  1. niihin, jotka ovat samalla puolella suoraa a (jana AB ei leikkaa suoraa a)
     ja
  2. niihin, jotka ovat eri puolella suoraa a (jana AB leikkaa suoran a)
     (hyödynsimme tietoa ekvivalenssirelaatiosta ja osituksesta)
• Tutustuimme puolisuoran, kulman ja kulman aukeaman käsitteisiin
• Todistimme (melkein) tuloksen "Jos piste D on kulman BAC aukeamassa, puolisuora AD leikkaa janan BC"

Pe 24.1.2014

• Tutustuimme aika moneen käsitteeseen:
  • janojen yhtenevyys
  • mitä tarkoittaa, että jana on toista janaa pienempi
  • mitä tarkoittaa janojen yhteenlasku
  • kulmien yhtenevyys
  • mitä tarkoittaa, että kulma on toista kulmaa pienempi
  • mitä tarkoittaa kolmioiden yhtenevyys ja mitä kolmioiden yhtenevyyslauseita voidaan todistaa
  • mitä ovat vieruskulmat
  • mitä ovat ristikulmat
• Erityisesti teimme seuraavia havaintoja (todistusten ideat läpikäyden):
  • janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio
  • kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio
  • sks-lause seuraa melkein suoraan aksioomasta 12 (lähestulkoon sama ehto)
  • yhtenevien kulmien vieruskulmat ovat yhtenevät
  • ristikulmat ovat yhtenevät
• Katsoimme myös, miten kantavektoriesityksen yksikäsitteisyys tarjoaa mahdollisuuden todistaa geometrisia tuloksia vektoreiden avulla (esim. lukiomatematiikan kontekstissa)

Ke 29.1.2014

• Kertasimme viime kerralla käyttöön otettua runsasta käsitteistöä
• Määrittelimme suoran kulman ja osoitimme, että kaikki suorat kulmat ovat keskenään yhteneviä
• Määrittelimme keskinormaalin ja osoitimme tuloksen: D on janan AB keskinormaalin piste <=> Janat AD ja BD ovat yhtenevät
• Todistimme useassa tilanteessa käytännöllisen lauseen: Jos kolmiossa ABC sivut AC ja BC ovat yhtenevät, myös kulmat CAB ja CBA ovat yhtenevät (eli tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret).
• Esille tuli vielä kaksi käytännöllistä lausetta:
  • Kolmion kulman vieruskulma on suurempi kuin kumpi tahansa kolmion muista kulmista (vielä ei saatu, että se olisi niiden summa... myöhemmin sitten...)
  • Kolmiossa pienempää kulmaa vastaa aina pienempi sivu ja (kääntäen) pienempää sivua vastaa aina pienempi kulma

Pe 31.1.2014

• Kuulimme esitelmät aiheista
  • Pisteen etäisyys suorasta
  • Kolmion merkilliset pisteet
  • Pinta-alat, tilavuudet ja yksiköt peruskoulussa
• Kaavailtu kks-lauseen todistus jäi seuraavalle viikolle

Ke 5.2.2014

• Kuulimme esitelmän aiheesta Sini- ja kosinilause
• Otimme käyttöön Playfairin aksiooman eli paralleeliaksiooman
  • Todistimme, että samankohtaiset kulmat ovat yhtenevät jos ja vain jos suorat ovat yhdensuuntaiset
  • Katselimme, mitä muita paralleeliaksiooman seurauksia välittömästi saadaan (esim: kolmion kulman vieruskulma on kolmion kahden muun kulman summa).
  • Katsoimme, miten eri nelikulmiot (suunnikas, neljäkäs, suorakulmio, neliö) määritellään yhdensuuntaisten suorien avulla

Pe 7.2.2014

• Kuulimme esitelmät aiheista:
  • Vektorit xy-koordinaatiostossa
  • Pii
  • Pythagoraan lause
• Katsoimme vielä yhdensuuntaisiin suoriin liittyviä tuloksia
• Todistimme kks-lauseen
• Vilkaisimme, miten ympyrä määritellään Lehtisen monisteessa ja, mikä jännä aksiooma tarvitaan ympyrään liittyen (aksiooma 14). (Ympyröihin liittyviin tuloksiin tutustutaan seuraavalla viikolla.)

Ke 12.2.2014

• Käsittelimme ympyrään liittyviä määritelmiä ja tuloksia
• Erityisesti todistimme
  • Ympyrän keskipisteen yksikäsitteisyyden
  • Kolmion ympäri piirretyn ympyrän yksikäsitteisyyden
  • Thaleen lauseen
  • Kehäkulmalauseen
• Muut lauseet jäivät maininnan tasolle; pyrkimys oli kokonaisuuden hahmottaminen (todistetaan ehkä jotain vielä ensi viikolla...)

Pe 14.2.2014

• Kuulimme esitelmät aiheista
  • Pinta-alafunktiot
  • Kulmakerroin ja suoran yhtälö
  • Kartio
• Välissä todistimme Lehtisen monisteen lauseet 1.6.2. ja 1.6.3. Trigonometriaan liittyvä esitelmä siirtyi ensi keskiviikolle.

Ke 19.2.2014

• Kuulimme esitelmän trigonometriasta
• Tarkastelimme "perustavanlaatuisimpia" harppi-viivain -konstruktioita (enimmäkseen samat kuin mitä on esitelty Lehtisen monisteessa)

Pe 21.2.2014

• Katsoimme vähän IV periodiin liittyneen "yleisöäänestyksen" tulosta ja sitä, miten IV periodilla kurssin järjestelyt (ainakin aluksi) hoidetaan.
• Kertasimme oleellisia asioita Lehtisen monisteen luvusta 1
• Katsoimme Lehtisen monisteessa esiintyvää janojen kertolaskun määritelmää ja osoitimme seuraavaa:
  • kertolasku on hyvin määritelty eli ei riipu edustajien valinnasta
  • kertolasku on vaihdannainen
  • jokaista yhtenevien janojen ekvivalenssiluokkaa a kohti on olemassa sellainen luokka b, että ab = 1. Tämä oikeuttaa merkinnän c/d eli voidaan puhua janojen suhteesta (ja verrannollisuudesta).

Ke 12.3.2014

• Palautimme mieleen janojen kertolaskun ja määrittelimme kolmioiden yhtenmuotoisuuden
• Todistimme kk-yhdenmuotoisuuslauseen ja katselimme muita yhdenmuotoisuuteen liittyviä lauseita (Lehtisen monisteen lauseet 2.2.2-2.2.4)
• Tutustuimme aiheisiin
  • pisteen potenssi ympyrän suhteen (ks. esim. Lehtinen 28, Väisälä s. 117)
  • keskiverron konstruointi (ks. esim. Väisälä 118)
    
    • erityisesti: lähtökohtana jana a ja yksikköjana pystyimme konstruimaan sellaisen janan h, joka toteuttaa ehdon h² = a.

Pe 14.3.2014

• Todistimme yhdenmuotoisuuslauseen sss
• Tarkastelimme janan ulko- ja sisäpuolista jakoa sekä harmonista jakoa (Nämä esim. Lehtinen s. 27, Väisälä s. 112)
• Tarkastelimme kultaista leikkausta ja sen konstruointia (ks. esim. Väisälä s. 128)

Ke 19.3.2014

• Tutustuimme yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuskuvauksiin (jälkimmäiset vasta mainiten) (Lehtinen s. 44 -)
  • Peilaus suoran yli
  • Peilaus pisteen yli
  • Siirto
  • Kierto
  • Homotetia
  • Inversio
• Yhtenevyyskuvauksen määritelmä ja siihen liittyvät Lehtisen lauseet 4.1.1.-4.1.3.
• Pohjustimme todistusta sille, että peilaus yli suoran on yhtenevyyskuvaus

Pe 21.3.2014

• Tutustuimme yhdenmuotoisuuskuvauksen (Lehtinen s. 49) määritelmään (ja Lehtisen lauseisiin 4.2.1-4.2.3)
• Tutustuimme homotetiaan ja inversioon (määritelmät: Lehtinen s. 50 ja 52)
  
  • homotetia on yhdenmuotoisuuskuvaus (tämä osoitettiin)
  • inversiossa säilyy vain kulmat ei se ole yhdenmuotoisuuskuvaus (mutta muuten tärkeä)
• Mietimme inversiopisteiden konstruoitavuutta toisistaan sekä Lehtisen lausetta 4.3.1, joka koskee kuvattavien joukkojen kuvajoukkoja inversiossa (todistimme lauseesta kohdan 1)

Ke 26.3.2014

• Jatkoimme inversion parissa
  • Muistelimme Lehtisen lausetta 4.3.1
  • Määrittelimme ympyröiden välisen (ja ympyrän ja suoran välisen) leikkauskulman (Lehtinen s. 53-54)
  • Erityisenä mainintana: kohtisuorasti ympyrän leikkaava ympyrä kuvautuu inversiossa itselleen (emme vielä todistaneet, palaamme asiaan pe ja harjoituksissa)
  • Lisäksi todettiin, että inversio säilyttää
    • kulmat (Lehtinen lause 4.3.3.; katsoimme tästä tapauksen "kahden suoran leikkauskulma säilyy")
    • ns. kaksoissuhteen (Lehtinen s. 54; emme vielä todistaneet, palaamme asiaan pe ja harjoituksissa)
• Aloitimme tutustumisen Poincarén (kiekko)malliin
  • mikä on P-taso, P-piste, P-suora, P-jana jne. (Lehtinen s. 88)
  • miten järjestys- ja liittymisaksoomat pätevät tässä mallissa
  • määrittelimme P-janojen yhtenevyyden kaksoissuhteen avulla

Pe 28.3.2014

• Jatkoimme Poincarén mallin parissa
  • Miten P-jana saadaan siirrettyä toiselle P-suoralle (eli P-peilauksen ja yhtenevyyden miettimistä, Lehtinen s. 89-90)
  • Miten etäisyys voidaan määritellä mallissa niin, että sillä on haluttuja ominaisuuksia (kuten se, että etäisyys ei ole ylhäältä rajoitettu ja ns. Arkhimedeen aksiooma pätee, Lehtinen s. 90)
• Pajatyöskentelyssä sai halutessaan nähdä oman 1. kurssikokeen; tämä mahdollisuus on myös ensi perjantaina (ja silloin myös korvaavien kokeiden osalta)

Ke 2.4.2014

• Aloitimme antiikin kolmen suuren ongelman parissa; lähdimme tutkimaan konstruoitavuutta ja kuntalaajennoksia
• Taululle sotkemisen lisäksi käytössä olleet luentoslidet
• Moodlessa on skannattuna Hadlockin kirjaa aiheeseen liittyen; luento keskittyi sivujen 9-20 asioiden pureskeluun

Pe 4.4.2014

• Jatkoimme kuntalaajennosten parissa
• Palailimme hieman keskiviikon asioihin ja todistimme Hadlockin kirjan Theorem 1:n
• Pääsimme hieman alustamaan ongelmaa kuution kahdentamisesta; tällöin pitäisi pystyä konstruoimaan kuutiojuuri 2. Osoitimme, että kuutiojuuri 2 ei ole rationaaliluku.
• Taululle sotkemisen lisäksi käytössä olleet luentoslidet

Ke 9.4.2014

• Jatkoimme edelleen kolmen suuren ongelman parissa
• Pääsimme osoittamaan kuution kahdennuksen ja kulman kolmijaon mahdottomuuden (Hadlockin kirjan sivut 24-29).
• Taululle sotkemisen lisäksi käytössä olleet luentoslidet

Pe 11.4.2014

• Jatkoimme vielä vähän kolmen suuren ongelman tiimoilta
  • osoitimme, että jos luku on konstruoitavissa, sen on oltava algebrallinen (piitä ei voi konstruoida, koska se ei ole algebrallinen, mutta tämän todistaminen jäi tämän kurssin ulkopuolelle)
  • taululle sotekemisen lisäksi käytössä olleet luentoslidet
• Lyhyt katsaus kartioleikkauskäyriin
  • Janin piirtämiä GeoGebra-kuvia (tarvitsee geogebra 3d-betaversion): paraabeli, ympyrä, ellipsi, hyperbeli
  • katselimme geometrisia määritelmiä ja yhtälöitä koordinaatistossa rinnan (tätä jatketaan laskareissa...)

Ke 16.4.2014

• Kertailimme IV periodin keskeisiä käsitteitä ja tuloksia
• Taululle sotkemisen lisäksi käytössä olleet luentoslidet
• Viimeisellä luentokerralla jatkamme hetken kertailua ja teemme sitten "pajatyöskentelynä" kokeeseen sparraavia tehtäviä (jotka laitan kurssisivulle ennen perjantaita 25.4.)

Pe 25.4.2014

• Jatkoimme kurssin kertailun loppuun ja käsittelimme kertaustehtäviä