\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{amsart}
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Unixin merkistö
\usepackage[T1]{fontenc}       % kirjaimet, joissa aksentteja (skandit)
\usepackage[finnish]{babel}    % suomalaiset babel-makrot
\usepackage{amsfonts}          % AMS-paketteja
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\pagestyle{plain}

\title{Analyysin harjoitustyö}
\author{Mikko Mallikas\\012345678}

\begin{document}

\maketitle

\noindent\textbf{Tehtävä 86.} Oletetaan, että funktio $f:[-1,1]\to\R$
on derivoituva origossa ja $f(0)=0$. Asetetaan $f_n(x)=nf(x/n)$,
kun $x\in [-1,1]$ ja $n=1,2,\ldots$. Osoita, että $(f_n)$ suppenee
tasaisesti välillä $[-1,1]$.

\vspace{0.5cm}

\noindent\emph{Ratkaisu.} Koska funktio $f$ on derivoituva origossa
ja $f(0)=0$, niin on olemassa raja-arvo
\begin{equation*}
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=a.
\end{equation*}
Kun määritellään
\begin{equation*}
F(x)=\frac{f(x)}{x},\ x\in[-1,1]\ \text{ja}\ x\neq 0,
\end{equation*}
niin $F(x)$ siis lähestyy raja-arvoa $a$, kun $x$ lähestyy arvoa
$0$ ja $x\neq 0$. Tällöin jokaiselle jonolle $(x_n)$, jossa
$x_n\neq 0$ ja $\lim_{n\to\infty} x_n=0$, on voimassa
$\lim_{n\to\infty} F(x_n)=a$.

Kun asetetaan $x_n=x/n$, jos $x\in [-1,1]$, $x\neq 0$ ja
$n=1,2,\ldots$, niin $\lim_{n\to\infty}x/n=0$, joten
\begin{equation*}
a=\lim_{n\to\infty} F(x_n)=\lim_{n\to\infty} F\left(\frac{x}{n}
\right)=\lim_{n\to\infty} \frac{f(x/n)}{x/n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{x} f\left(\frac{x}{n}\right).
\end{equation*}
Saadaan siis
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} nf\left(\frac{x}{n}\right)=ax,\ \text{kun}\
x\in [-1,1]\ \text{ja}\ x\neq 0.
\end{equation*}
Kun $x=0$, niin
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} nf\left(\frac{x}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}
nf\left(\frac{0}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} nf(0)=
\lim_{n\to\infty} n\cdot 0=0.
\end{equation*}
Tästä seuraa, että
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty} nf\left(\frac{x}{n}
\right)=ax\ \text{kaikilla}\ x\in [-1,1].
\end{equation*}
Kun merkitään $g(x)=ax$, niin $(f_n)$ suppenee pisteittäin kohti
rajafunktiota $g$.

On osoitettava, että $(f_n)$ suppenee tasaisesti kohti funktiota
$g$. Koska
\begin{equation*}
\lim_{h\to 0}\left|\frac{f(h)}{h}-a\right|=0,
\end{equation*}
niin jokaista lukua $k>0$ vastaa sellainen luku $m>0$, että
\begin{equation*}
\left|\frac{f(h)}{h}-a\right|<k,\ \text{kun}\ 0<|h|>m.
\end{equation*}
Tällöin kaikilla $x\in [-1,1]$, $x\neq 0$, on
\begin{align*}
\left|nf\left(\frac{x}{n}\right)-ax\right|&=|x|\left|
\frac{n}{x}f\left(\frac{x}{n}\right)-a\right|=|x|\left|
\frac{f\left(\frac{x}{n}\right)}{\frac{x}{n}}-a\right|\\
&\le\left|\frac{f\left(\frac{x}{n}\right)}{\frac{x}{n}}
-a\right|<k,
\end{align*}
kun $0<\left|\frac{x}{n}\right|<m$, eli kun $n>\left|
\frac{x}{n}\right|$. Kun $|x|\le 1$, niin $\left|\frac{x}{m}
\right|\le\frac{1}{m}$, joten
\begin{equation*}
\sup_{x\in [-1,1]} \left|nf\left(\frac{x}{n}\right)-ax
\right|<k,\ \text{kun}\ n>\frac{1}{m}.
\end{equation*}
Siis
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{x\in [-1,1]} \left|nf\left(
\frac{x}{n}\right)-ax\right|\right)=0,
\end{equation*}
joten $(f_n)$ suppenee tasaisesti kohti funktiota $g$.
\qquad$\square$

\end{document}