Viikko 7: Reuna

Palataanpa hetkeksi kurssin alkuun. Avoimen joukon määritelmä sisältää ajatuksen, että avoimen joukko on pisteidensä ympäristö ja pisteet ovat siten joukon "sisällä". Koska suljetun joukon komplementti on avoin, voidaan samalla tavalla ajatellen sanoa, että komplementin pisteet ovat komplementin "sisällä" eli suljetun joukon "ulkopuolella". Tätä ajatettelua voidaan hieman täsmentämällä määritellä jokaiselle joukolle (ei siis pelkästään avoimille ja suljetuille) sen sisäpisteet ja ulkopisteet. Kaikki avaruuden pisteet eivät kuitenkaan välttämättä ole annetun joukon sisä- tai ulkopisteita. Nämä loput ovat reunapisteitä.

Tällä viikolla puhutaan näistä termeistä. Koska tamä on samalla kurssin viimeinen viikko, kerrataan myös lyhyesti kurssin asiota ja vilkaistaan Topologia Ib:n puolelle.

Materiaali: Luku 8
Aihe: sisä-, ulko- ja reunapisteet.

Viikko 6: Relatiivitopologia

Kun metristä avaruutta pienennetään siirtymällä tarkastelemaan osajoukkoa, jotkin ominaisuudet säilyvät, mutta monet muuttuvat. Jos osajoukko on avoin tai suljettu, on helppo arvata, minkälaisia muutoksia on odotettavissa. Jos osajoukko ei ole kumpaakaan, tarkkuutta tietysti vaaditaan. Tällä viikolla siis pohditaan, mitä tarkoittaa, että osajoukon osajoukko on avoin tai suljettu.

Materiaali: Luku 7
Aihe: osajoukon avoimet ja suljetut joukot sekä sulkeuma osajoukossa.

Viikko 5: Sulkeuma

Suljetun joukon määritelmä on, että joukko on suljettu, jos sen komplementti on avoin. Tämä ei kuitenkaan ole koko totuus. Voidaan myös ajatella, että jokaisella joukolla on sulkeuma, eli sellainen joukko, joka sisältää kaikki tarkasteltavasta joukosta etäisyydellä nolla olevat pisteet. Paljastuu, että joukon sulkeuma on aina suljettu joukko yllä annetussa mielessä. Lisäksi paljastuu, että joukko on suljettu, jos se on oma sulkeumansa. Suljetun joukon käsite on hyvin hienovarainen ja vaatii erityistä huolellisuutta. Näitä määritelmiä ja havaintoja mietitään tämä viikko.

Lisäys 4.10: Väisälän kirjan viimeisimmät painokset eroavat hieman aikaisemmista. Uudemmissa painoksissa ei määritellä lainkaan kosketuspisteitä vaan joukon sulkeuma määritellään suoraan esittelemättä ensin kosketuspisteen käsitettä.  Kuten luennoilla määriteltiin, piste x avaruudessa X on joukon A kosketuspiste, jos jokainen pisteen x ympäristö leikkaa joukkoa A. Joukon A sulkeuma on siis sen kosketuspisteiden joukko. Huomaa, että joukon A kasautumispisteet ovat siis aina kosketuspisteitä, mutta kosketuspisteen ei tarvitse olla kasautumispiste.

Materiaali: Luku 6

Aihe: sulkeuma, suljettu joukko, kosketuspiste, kasautumispiste.

Viikko 4: Normiavaruudet ja jatkuvuus

Kun kuvauksella on maalina eukliidinen avaruus, ja siten voidaan hyödyntää koordinaatistoa, on yleensä hyödyllistä (tai muuten mukavaa) tarkastella kuvausta sen komponenttifunktioiden kautta. Perustulos on, että kuvaus euklidiseen avaruuteen on jatkuva, jos ja vain jos sen reaaliarvoiset komponettikuvaukset ovat jatkuvia.

Tällä viikolla aloitetaan normi- ja sisätuloavaruuksista. Tämän jälkeen siirrytään käsittelemään vektoriarvoisia kuvauksia ja niiden jatkuvuutta. Tämän jälkeen puhutaan projektioista ja kuvausten komponenteista.Tällä viikolla käsitellään siis sekä luku 1 että luku 5 Väisälän kirjasta. Materiaalia on tavanomaista enemmän, joten molemmat luvut kannattaa siis lukea etukäteen ennen luentoja.

Materiaali: Luvut 1 ja 5
Aihe: normi, sisätulo, projektiot, koordinaattifunktiot.

Viikko 3: First contact

Kurssi on päässyt nyt siihen vaiheesseen, että ensimmäiset yhteydet muuhun matematiikkaan voidaan ottaa. Tällä viikolla määritellään jatkuvat kuvaukset ja verrataan määritelmää aiemmin opittuihin, kuten reaaliakselilla määriteltyjen funktioiden jatkuvuuteen. Tärkein havainto on, että jatkuvuuden määritelmä on täsmälleen sama kuin muilla kursseilla: itseisarvon paikalle vaihdetaan metriikka ja sitten epsilon-delta ehto kirjoitetaan kuulien avulla.

Vaikka määritelmä onkin "ihan sama" kuin reaalifunktioiden tapauksessa, metriset avaruudet tuovat käsitteeseen aivan uutta mielenkiintoa. Voidaan esimerkiksi kysyä, millaisia ovat jatkuvat funktiot rationaaliluvuilta reaaliluvuille? Funktion kuvaajan katkeamattomuudella ei ole asian kanssa enää mitään tekemistä.

Materiaali: Luku 4
Aihe: jatkuvuus

Viikko 2: Avoimet joukot ja ympäristöt

Avoin joukko on yksi topologian peruskäsitteistä. Avoimuuden ajatus on yksinkertainen: joukko on avoin, jos jokaisessa sen pisteessä "kaikki lähellä olevat" pisteet kuuluvat tarkasteltavaan joukkoon. Ongelma tietysti on, että mitä termi "kaikki lähellä olevat" oikeastaan tarkoittaa. Tarkoittaako se kilometriä, senttimetriä, vai naapurikaupunkia? Kuula on tässä tietenkin se oikea avainsana.

Ympäristö on avoimen joukon käsitteen johdannainen: tarkasteltava joukko on annetun pisteen ympäristö, jos kyseinen joukko on avoin ja sisältää annetun pisteen. Eli suomeksi: avoimet joukot ovat sisältämiensä pisteidensä ympäristöjä. (Terminologia ei ole täysin mielivaltaista: avoin joukko määritelmänsä perusteella sisältää jokaisessa pisteessään kaikki "ympärillä" olevat pisteet.)

Materiaali: Luku 3
Aiheet: avoin joukko, ympäristö, erakkopiste.

Viikko 1: Etäisyys

Aloitamme suoraan Väisälän kirjan luvulla 2 eli metriikasta ja metrisistä avaruuksista.

Metriikka ei ole muuta kuin funktio, joka kertoo pisteiden väliset etäisyydet tarkasteltava joukossa. Se on siis sopimus siitä, miten etäisyys tulkitaan kyseisessä tilanteessa. Usein metriikka ajatellaan annetuksi ja sitä käsitellään abstraktina objektina. Mikäli halutaan tarkastella esimerkkejä, pitää metriikkafunktio itse määritellä (tai jotenkin muuten valita).

Jotta metriikan käsite vastaisi edes jossin määrin tuttua etäisyyden käsitettä reaaliakselilla (tai vaikkapa tasossa), niin jotain ehtoja tulee metriikkafunktiolle asettaa. Tärkein niistä on kolmioepäyhtälö. Tämä viikko käytetään (pääasiassa) näihin ehtoihin tutustumiseen ja esimerkkeihin metrisistä avaruuksista.

Huom: Väisälän kirjan luvussa 2 on jonkin verran normiavaruuksiin liittyviä esimerkkejä ja tuloksia. Näihin asioihin palataan myöhemmin kurssin aikana ja ne voi tässä vaiheessa ottaa faktoina keskittymättä todistuksiin. Lukuun 1 (ja siinä esiteltyyn terminologiaan) tutustuminen kannattaa toki aloittaa jo tässä vaiheessa.

Viikon materiaali: Luku 2 (+ luku 1)
Viikon aihe: metriikka, kolmiepäyhtälö, kuulat, esimerkkejä metrisistä avaruuksista.

Viikko 0: Kesä & Topo -- mitä ihmettä?

Matematiikan aineopintojen topologian kurssia Topologia I (eli tuttavallisemmin Topoa) pidetään usein opintojen vedenjakajana. Topoa joko vihaa tai rakastaa. Syy tähän on aika yksinkertainen. Monille opiskelijoille Topo I on ensimmäisiä kursseja, joilla teoria rakennetaan johdonmukaisesti suoraan "aksioomista" yrittämättä ensin pohjustaa teorian hyödyllisyyttä kattavalla valikoimalla esimerkkejä tai aiemmin tutuilla ilmiöillä. Jos pääsee heti kärryille, lähestymistapa yleensä ihastuttaa: päättelyt ovat lyhyitä, ei ole paljoa teknistä näpertelyä, ideat ja käsitteet loistavat kirkkaina, jne. Jos käy niin, että kurssin alussa aivot eivät olekkaan oikeassa asennossa ja jää heti jumiin, materiaali alkaa vaikuttaa mystiseltä ja kurssi alkaa vihastuttamaan.

Mistä tällä kurssilla on siis oikeasti kysymys?

Metrisen topologian tarkoituksena on antaa "oikea" yleinen konteksti ilmiöille, jotka tulevat esiin jo analyysin peruskursseilla:

• Miksi jatkuvan funktion kuvaaja ei katkea?
• Miksi jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvon suljetulla ja rajoitetulla välillä?
• Miksi välillä määritelty merkkiä vaihtava jatkuva funktio saa arvon nolla?
• Miksi reaalilujen rajoitetutuilla osajoukoilla on supremum ja infimum?
• Mitä raja-arvo ja jatkuvuus "oikeasti" ovat?
• Jne.

Kokonaisen matematiikan alan kehittäminen pelkästään näiden kysymysten, joiden vastaukset tunnettiin, selvittämiseksi ei kuitenkaan ole teorian varsinainen motivaatio. Metrisen topologian hyödyllisyys paljastuukin esimerkiksi tutkittaessa Banach-avaruuksia (eli täydellisiä normiavaruuksia) ja Hilbert-avaruuksia (täydellisiä sisätuloavaruuksia), joissa mielenkiinnon kohteena ovat esimerkiksi funktioavaruuksien ja niiden välisten lineaarikuvausten ominaisuudet.

Topologisen käsitteistön hyödyllisyys ei kuitenkaan rajoitu pelkästään analyysiin. Esimerkiksi kompaktisuuden käsittettä hyödynnetään kaikkialla, missä tarvitaan olemassaolotuloksia. Yhtenäisyys ja ympäristöt ovat peruskäsitteitä esimerkiksi Lien ryhmien teoriassa. Geometrinen ryhmäteoria perustuu ajatukselle, että abstraktia ryhmää voidaan tutkia metrisin keinoin jne. Oikeasti lista ei tietenkään ole ääretön, mutta pitkä se on.

Tällä kurssilla (Topologia Ia) on tarkoitus selvittää tämän alan peruskäsitteet ja siten opetella puhumaan "topoa". Topologia Ib:llä tarkastellaan puolestaan metristen avaruuksien ominaisuuksia.

Kuinka valmistautua kurssille?

Ihan vakavasti suosittelen hankkimaan kurssilla käytettävän Väisälän kirjan käsiinsä jo kesän aikana. Kirja on loppujen lopuksi aika kevyt ja kulkee hyvin mukana niin rannalle kuin kahvilaan. Helppo lukea junassa. Kannattaa lukea niin pitkälle kuin ehtii. Tehtävät voit jättää ensimmäisellä lukukerralla huomioimatta, tutustuu vain itse asiaan. Kirja on aika tiivistä tekstiä ja yhden sivun lukemiseen voi ensimmäisellä kerralla kulua tunteja. Siksi siihen on hyvä suhtautua kuin sipuliin: ensimmäisellä kerralla tutustuu pintapuolisesti, sitten tarkemmin, ja tarkemmin, ja tarkemmin... Kurssilla tästä ennakkotutustumisesta on se hyöty, että käsitteiden ollessa tutumpia pystyy helpommin tarttumaan teorian oikeasti vaikeampiin kohtiin.

Btw: Kurssilla kirjaa tullaan oikeasti käyttämään joka käänteessä, joten siihen tutustumisesta on vain etua.

Näillä sanoin: Topo I alkaa 6.9. Hyvää kesää!

/ Pekka Pankka