Last modified by astala@helsinki_fi on 2024/03/27 10:50
Show last authors
1 = Kompleksianalyysi I, syksy 2016 =
2
3
4
5 == Ajankohtaista. ==
6
7 Toisen välikokeen ja koko kurssin tulokset nyt laitoksen "Koetulokset"-sivulla.
8
9
10
11
12
13 Seuraavat/viimeiset Harjoitukset 13.12. (sillä 6.12. ei harjoituksia); tehtäviä "tuplasti", ne yhdistävät kahdet harjoitukset, sekä viikon 28.11-2.12 että viikon 5.12 - 9.12 asiat.
14
15 Viimeiset luennot 5.12 ja 7.12.
16
17 Toinen kurssikoe 15.12., koealue muistiinpanojen luvut 6 - 9, Harjoitukset 6 - 11.
18
19
20
21 {{panel}}
22 **Vastuuopettaja:** [[Kari Astala>>doc:mathstatHenkilokunta.Astala, Kari]]
23
24 **Laajuus:** 10 op
25
26 **Tyyppi:** Syventävä opinto
27
28
29
30 **Esitietovaatimukset: **Esitietoina tarvitaan ensinnäkin kurssi Johdatus Yliopistomatematiikkaan.
31
32 Tarvitaan myös kurssit Analyysi I ja Analyysi II, joita vastaavat kurssit Raja-arvot, Differentiaalilaskenta, Integraalilaskenta sekä Sarjat.
33
34 Lisäksi esitietoina tarvitaan kurssi Vektorianalyysi, eli vastaavat kurssit Vektorianalyysi 1 ja 2.
35
36 Kurssi Topologia I on suositeltava.
37
38
39
40 **Opetus: **Luennot viikoilla 36-42 ja 44-50, maanantaisin ja keskiviikkoisin klo 12-14, salissa C123.
41
42
43
44 **Harjoitukset: **Kurssiin kuuluvat viikottaiset harjoitukset, tiistaisin klo 10-12, salissa C 122. Tehtävät kurssisivulla ed.viikon keskiviikkona.
45
46
47
48 **Sisällöstä:**
49
50 Kurssi käsittelee analyysiä kompleksiluvuilla; erityisesti tutkitaan funktioita joiden muuttujat (ja arvot) ovat kompleksilukuja - tällaisilla funktioilla on yllättävän vahvoja ominaisuuksia. Kompleksilukujen joukko voidaan ajatella tasona (nk. kompleksitasona), ja sitä kautta kompleksiluvuilla tehtävä analyysi yhdistyy myös kauniilla tavalla geometriaan.
51
52 Ensin kertaamme kompleksilukujen perusominaisuudet. Tämän jälkeen tutustumme kompleksilukuarvoisten funktioiden derivoimiseen ja integroimiseen. Kompleksifunktioiden derivoiminen on samanlaista kuin reaalifunktioilla, mutta integroiminen kompleksitasossa vaatii vektorianalyysissä käsiteltävää polkuintegrointia. Tulemme havaitsemaan, että kompleksisesti derivoituvilla funktioilla on monia erityisominaisuuksia, joita reaalifunktioilla ei yleensä ole.
53
54 Kompleksisesti derivoituvien funktioiden (nk. analyyttisten funktioiden) vahvojen ominaisuuksien vuoksi tällä aihepiirillä on runsaasti sovelluksia lähestulkoon kaikilla puhtaan ja soveltavan matematiikan alueilla, aina lukuteoriasta fysiikkaan ja insinööritieteisiin.
55
56
57
58 **Kurssin sisältöä alustavasti**:
59
60 * kompleksiluvut ja kompleksitason topologiaa
61 * analyyttisen funktion määritelmä ja perusominaisuudet
62 * eksponentti- ja logaritmifunktio
63 * Möbius-kuvaukset ja muut konformikuvaukset
64 * Cauchyn integraalilause ja integraalikaava
65 * analyyttisen funktion potenssisarjaesitys
66 * Liouvillen lause ja algebran peruslause
67 * maksimiperiaate ja Schwarzin lemma
68 {{/panel}}
69
70 == Kokeet ==
71
72 Kurssilla on kaksi kurssikoetta.
73
74 Ensimmäinen kurssikoe keskiviikkona 26.10. klo 9.15, sali CK 112. Tulokset laitoksen "Koetulokset"-sivulla. Kokeen keskiarvo oli 17,6/ 24
75
76 [[Hahmotelmia ensimmäisen kurssikokeen ratkaisuista>>attach:1KOEmallitvara.pdf]]
77
78 Toinen kurssikoe on torstaina 15.12. klo 16.15 Exactumin auditorioissa.
79
80 II kurssikokeen alue: muistiinpanojen luvut 6 - 9, Harjoitukset 6 - 11. Toisen välikokeen keskiarvo 15,7/24, tulokset laitoksen "Koetulokset"-sivulla.
81
82 [[Hahmotelmia toisen välikokeen ratkaisuista>>attach:2Välikoe_mallit.pdf]]
83
84
85
86 Kurssikokeiden kesto on 2,5 h.
87
88 Kurssikokeissa sallitut apuvälineet: Kynä, pyyhekumi (**Ei taulukkokirjoja eikä laskimia**)
89
90 == Kurssimateriaali ==
91
92 Kurssimuistiinpanot kokonaisuudessaan, luvut 1. - 9., löytyvät [[tästä>>attach:Kompleksianalyysi2016.pdf]].
93
94 Huom: Luennoilla kaksoissuhdetta luvussa 6. sivuttiin vain lyhyesti. (asia ei mukana tentissä)
95
96 Taustaa ja lisäesimerkkejä kompleksiluvuilla laskemisesta voi kerrata esim. L. Oinosen monisteesta [[Johdatus Yliopistomatematiikkaan.>>attach:JYMmoniste.pdf]]
97
98 == Kirjallisuutta ==
99
100 Esim. seuraavia kirjoja voi soveltuvin osin käyttää kurssin tukena.
101
102 J.W. Brown & R.V. Churchill: Complex Variables and Applications (8th ed.), McGraw-Hill, 2009.
103
104 J.B. Conway: Functions of One Complex Variable I (2nd ed.), Springer, 1978.
105
106 R. E. Greene & S. G. Krantz: Function Theory of One Complex Variable (2nd ed.), AMS, 2002.
107
108 O. Lehto: Funktioteoria I~-~-II, Limes ry, 1982.
109
110 B. Palka: An Introduction to Complex Function Theory, Springer, 1991.
111
112 W. Rudin: Real and Complex Analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, 1987.
113
114 == [[Ilmoittaudu kurssille>>url:https://oodi-www.it.helsinki.fi/hy/opintjakstied.jsp?html=1&Tunniste=57062||shape="rect"]] ==
115
116
117 Unohditko ilmoittautua? [[Katso ohjeet täältä!>>doc:mathstatOpiskelu.Kysymys4]]
118
119 == Laskuharjoitukset ==
120
121 Harjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:
122 25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.
123
124 (% style="font-size: 16.0px;font-weight: bold;" %)Harjoitustehtävät ((% style="font-size: 16.0px;" %)Note: Exercises are now also in English)
125
126 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset>>attach:HT1.2016.pdf]][[ 1>>attach:HT1.2016.pdf]] [[Mallivastaukset 1>>attach:Laskari1lopullinen.pdf]]
127
128 (% style="font-size: 16.0px;font-weight: bold;" %) (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 2 >>attach:HT2 copy.pdf]] [[Mallivastaukset 2>>attach:HT2Malli.pdf]]
129
130 (% style="font-size: medium;" %) [[Harjoitukset 3 >>attach:HT3.2016.pdf]] [[Mallivastaukset 3>>attach:HT3Vara.pdf]]
131
132 (% style="font-size: 16.0px;font-weight: bold;" %) (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 4>>attach:HT4.2016.pdf]](% style="font-size: 16.0px;font-weight: bold;" %) (% style="font-size: 16.0px;" %)[[Mallivastaukset >>attach:HT4.pdf]]
133
134 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 5 >>attach:HT5.2016.pdf]] [[Mallivastaukset 5>>attach:HT5vara.pdf]]
135
136 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 6>>attach:HT6Lopullinen.pdf]] [[Mallivastaukset 6>>attach:HT6Lopullinenmalli.pdf]]
137
138 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 7>>attach:HT7.2016.pdf]] [[Mallivastaukset 7>>attach:HT7kokeilu.pdf]]
139
140 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 8 >>attach:HT8.2016.pdf]] [[Mallivastaukset 8>>attach:HT8vara.pdf]]
141
142 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 9>>attach:HT9.2016.pdf]] [[Mallivastaukset 9>>attach:HT9vara.pdf]]
143
144 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 10>>attach:HT10.2016.pdf]] [[Mallivastaukset 10>>attach:HT10.pdf]]
145
146 (% style="font-size: 16.0px;" %) [[Harjoitukset 11>>attach:HT11.2016.kuvien.kanssa.pdf]] [[Mallivastaukset 11>>attach:HT11lopullinen.pdf]] HUOM: pieniä painovirheitä korjattu tehtävässä 8, sekä 4.12. että toinen 7.12.
147
148
149 (% style="font-size: 16.0px;font-weight: bold;" %)
150
151
152 (% style="font-size: 16.0px;font-weight: bold;" %)Harjoitusryhmät
153
154 (% class="wrapped" %)
155 |=(((
156 Ryhmä
157 )))|=(((
158 Päivä
159 )))|=(((
160 Aika
161 )))|=(((
162 Paikka
163 )))|=(% colspan="1" %)(((
164 Pitäjä
165 )))
166 |(((
167 1.
168 )))|(((
169 ti
170 )))|(((
171 10-12
172 )))|(((
173 C122
174 )))|(% colspan="1" %)(((
175 Lauri Hitruhin
176 )))
177
178 == Palautetta kurssista ==
179
180 Matematiikan ja tilastotieteen laitoksella on käytössä jatkuva palautteen keruu eli voit antaa palautetta missä tahansa kohdassa kurssia. Palautelomakkeeseen pääset [[täältä>>url:https://elomake.helsinki.fi/lomakkeet/11954/lomake.html||shape="rect"]].
181
182