Todennäköisyysteoria I, kevät 2015

1

= Todennäköisyysteoria I(% style="letter-spacing: 0.1em;font-size: 18.0pt;" %), (%%)kevät 2015 =

2

3

=== Luennoitsija(% style="color: rgb(0,0,0);line-height: 13.0pt;font-size: 10.0pt;font-weight: normal;" %) (%%) ===

4

5

[[Dario Gasbarra>>doc:mathstatHenkilokunta.Gasbarra, Dario]] (vastaanottoaika maanantaisin kello 12-14 B314)

=== Laajuus ===

5(% style="line-height: 13.0pt;font-size: 10.0pt;" %) op.

10

11

(% style="line-height: 13.0pt;font-size: 10.0pt;" %) (%%)Todennäköisyysteoria I ja [[II>>doc:mathstatKurssit.Kevät 2015.Todennäköisyysteoria II, kevät 2015.WebHome]] yhdessä vastaavat tutkintovaatimuksissa esiintyvää 10 op:n kurssia Todennäköisyysteoria. [[Todennäköisyysteorian II >>url:http://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pageId=135070337||shape="rect"]]luennoidaan neljännellä periodilla.(% style="line-height: 13.0pt;font-size: 10.0pt;" %)

=== **Tyyppi** ===

Syventävä opinto

=== Esitietovaatimukset ===

19

20

Analyysi I-II; Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I; Vektorianalyysi.

21

\\Hyödyllisiä kursseja (muttei tarvita varsinaisesti esitiedoiksi): Johdatus todennäköisyyslaskentaan; Funktionaalianalyysin peruskurssi; Mitta ja integraali.

=== Luentoajat ===

Viikot 3-9, ti 12-14 C124 ja to 10-12 B120. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Ensimmäinen luento tiistaina 13.1

26

27

=== Laskupaja-toiminta ===

28

29

Tiistaisin kello 15.00 alkaen III kerroksen käytävällä. Dario päivystää ja neuvoo harjoitustehtävien laskemisestä.

=== Kokeet ===

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskuharjioituksiin osallistuminen ei ole pakollinen. Opiskelijan aktiivinen osallistuminen nostaa arvosanaa. Tenttikysymyksiä ja malliratkaisuja: [[25.2.2015>>attach:ratkaisut_tentti_tn_teoria_25_02_2015.pdf]] ,[[11.3.2015>>attach:ratkaisut_tentti_tn_teoria_11_03_2015.pdf]], [[30.3.2015>>attach:ratkaisut_tn_teoria_I_koe_30032015.pdf]].

34

35

Kurssikoe: tiistaina 5.5 kello 9-13 D123 salissa. Silloin voi tenttia myös Todennäköisyysteoria II kurssin osaa.

36

37

Siitä seuraava koe pidetään 20.5 yleistenttitilaisuudessa.

38

39

=== (% style="color: rgb(51,51,51);" %) (%%)Sisältö ===

40

41

(% style="text-align: left;" %)

42

Johdanto: Miksi todennäköisyydet ovat additiivisia ? De Finettin rahoitusteoreettinen tulkinta: todennäköisyys on hinta.

43

Todennäköisyys ja satunnaismuuttujat: σ-algebrat, Kolmogorovin aksioomat. Todennäköisyys-mitan laajennus ja Dynkinin lause.Sovellus: tulo σ-algebra ja tulo mitta. Satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat, kertymäfunktio, tiheysfunktio.

44

45

(% style="text-align: left;" %)

46

Poissonin, Eksponentiaalinen ja Gaussinen jakaumat. Moniulotteinen Gaussinen jakauma. Monotonisen luokan lause. Charatheodoryn laajennus lause. Sovellus: Kolmogorovin laajennus lause ääretön-ulotteisessa tuloavaruudessa, stokastiset prosessit. Riippumattomus, Borel-Cantellin lemmat. Esimerkki: Markovin ketjun konstruktio.

47

48

(% style="text-align: left;" %)

49

Satunnaismuuttujen jonon melkein varma konvergenssi. Odotusarvo. Lebesgue-Stieltjes Riemannin-Stieltjes integraalin yleistyksenä. Monotonisen konvergenssin lause, Fatou lemma, Lebesguen dominoidun konvergenssin lause. Todennäköisyysmitan vaihto-kaava, uskottavuusosamäärä, Lebesguen hajotelma. Elementaarinen ehdollinen todennäköisyys. Fubinin lause ja tulo-integraali,osittaisintegroinnin kaava.

50

51

(% style="text-align: left;" %)

52

Stokastinen konvergenssi. Chebychevin epäyhtälö ja heikko suurten lukujen laki. Johdatus Cramerin suurten poikkeamien teoriaan. Momentti generoiva funktio. Konveksin analyysin alkeita, Jensenin epäyhtälö, Legendren muunnos. Cramerin lause.

53

54

(% style="text-align: left;" %)

55

=== **Opetusmateriaalit** ===

56

57

luennoitsijan [[luentomoniste>>attach:tn_teoria_luennot_2015.pdf]] (päivitetty 30.3.2015), [[harjoitustehtävät>>doc:mathstatKurssit.Kevät 2015.Todennäköisyysteoria I, kevät 2015.Todennäköisyysteoria I, kevät 2015, harjoitukset.WebHome]].

58

59

Vapaasti saatavissa luentomonisteet:

60

61

T. Sottinen: [[Todennäköisyysteoria>>url:http://www.math.helsinki.fi/%7Etsottine/opetusmateriaalia/tnt.pdf||rel="nofollow" shape="rect" class="external-link"]], 2006.

62

63

E. Valkeila: [[Todennäköisyysteoria>>url:http://www.math.helsinki.fi/%7Evalkeila/misc/tnt.pdf||rel="nofollow" shape="rect" class="external-link"]], 2001.

64

65

Vanhat todennäköisyysteorian kurssisivut: [[kevät 2009>>url:http://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pageId=31430324||rel="nofollow" shape="rect" class="external-link"]] [[syksy 2009>>url:http://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pageId=48307463||rel="nofollow" shape="rect" class="external-link"]], [[syksy 2012>>url:https://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pageId=87261902||shape="rect"]], [[syksy 2013>>doc:mathstatKurssit.Syksy 2013.Todennäköisyysteoria I, syksy 2013.WebHome]]. [[Vanhat koepaperit>>url:http://wiki.helsinki.fi/display/mathstatOpiskelu/Arkisto||rel="nofollow" shape="rect" class="external-link"]]

66

67

=== **Kirjallisuus** ===

68

69

G. Elfving - P. Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II, Limes.

70

71

J.Jacod- P.Protter: Probability Essentials.

72

73

D. Williams: Probability with Martingales.

Suositellaan myös

E. Çinlar:[[ Probability and Stochastics>>url:http://link.springer.com/book/10.1007/978-0-387-87859-1/page/1||rel="nofollow" shape="rect" class="external-link"]], Springer Graduate Texts in Mathematics, 2011.

78

79

O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability.

80

81

L. Koralov, Y. Sinai: [[Theory of Probability and Random Processes>>url:http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-68829-7||rel="nofollow" shape="rect" class="external-link"]], Springer 2007.

82

83

P Malliavin, H Airault, L Kay, G Letac: Integration and Probability

84

85

A.N. Shiryaev: Probability Springer.

86

87

A.N. Shiryaev: Problems in Probability, Springer 2012

88

89

=== [[Ilmoittaudu kurssille>>url:https://oodi-www.it.helsinki.fi/hy/opintjakstied.jsp?html=1&Tunniste=57110||shape="rect"]] ===