Hyperreaaliluvut, kevät 2014

Luennoitsija 

Kari Ylinen

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Kurssia on mahdollista seurata kurssien Analyysi I ja Analyysi II pohjalta, sillä mm. tarvittava logiikka ja joukko-oppi esitellään kurssin aikana. Tottumuksesta abstraktiin matemaattiseen ajatteluun on luonnollisesti hyötyä.

Luentoajat

III ja IV periodi. Opetusta on keskimäärin kolmena maanantaina kuukaudessa neljä tuntia päivässä klo 10-12 ja klo 14-16 salissa B321. Tästä luentoja on kaksi kolmasosaa ja harjoituksia yksi kolmasosa sovittavina aikoina. Ensimmäinen luentokerta on 13.1.

Sisältö

Hyperreaalilukujen järjestetty kunta voidaan tulkita tavallisen reaalilukujoukon laajennukseksi, joka sisältää myös äärettömän suuria ja infinitesimaalisen pieniä alkioita. Kurssi käsittelee tällaisen rakenteen perusteoriaa ja toimii samalla johdantona ns. epästandardiin analyysiin. Epästandardi analyysi on Abraham Robinsonin 1960-luvulla löytämä malliteoriaan pohjautuva uusi lähestymistapa mm. analyysin rajaprosessien käsittelyyn. Nykyään teorialla on tärkeitä sovelluksia mm. stokastiikkaan ja matemaattiseen fysiikkaan.

Käsiteltäviä aihepiirejä: Dedekind-täydellisyyden, Cauchy-täydellisyyden ja Arkhimedeen ominaisuuden yhteys. Reaaliluvut Dedekind-täydellisenä järjestettynä kuntana. Matemaattisen logiikan alkeita. Filtterit ja ultrafiltterit. Hyperreaalilukujen joukon konstruktio ultrapotenssina ja niiden perusominaisuudet. Epästandardien laajennusten käytöstä alkeisanalyysissä. Epästandardin analyysin siirtoperiaate ja sen sovelluksia.

Kokeet

Kurssi suoritetaan loppukokeella, harjoitusaktiivisuudesta voi saada lisäpisteitä korkeintaan yhden koetehtävän verran (kaikkiaan viidestä tehtävästä).

Kirjallisuus

Oppikirjoja:

R. Goldblatt, "Lectures on the hyperreals, an introduction to
nonstandard analysis", Springer 1998.

R. F. Hoskins, "Standard and nonstandard analysis", Ellis Horwood, 1990.

A. E. Hurd and P. A. Loeb, "An introduction to nonstandard real
analysis", Academic Press, Inc., 1985.

Kurssi ei seuraa mitään tiettyä oppikirjaa.
Luentoteksti tulee saataville kopiohuoneeseen.

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!